3.8. EXERCICES
Dans quel cas la taille moyenne de la population d’individus sains tend vers l’infini quand
n → ∞ ?
Dans quel cas la taille moyenne de la population d’individus infectés tend vers l’infini
quand n → ∞ ?
Exercice 3.8.2
Nous étudions l’impact de la vaccination sur la transmission d’une maladie infectieuse
dans une population d’individus. La propagation de cette maladie est modélisée par un
processus de Bienaymé-Galton-Watson (BGW). Par unité de temps, chaque malade peut,
indépendamment des autres, infecter k (k ≥ 0) individus (préalablement sains) et leur
transmettre la maladie avec probabilité p k . On note IP i la loi de ce processus issu de i
individus.
Nous supposons maintenant que dans cette population, chaque individu sain est vacciné
avec probabilité α, 0 ≤ α ≤ 1 et ne peut donc pas être contaminé. (On suppose que la
taille de la population est suffisamment grande pour que seule cette probabilité importe).
1 -Quelle est la probabilité p k,α (en fonction des p j , j ∈ N et de α), qu’un individu infecté
transmette réellement la maladie à k individus.
2 - Fixons α ∈ [0, 1]. Soit g la fonction génératrice associée à la loi (p k ), de moyenne m.
Donner en fonction de g la valeur de la fonction génératrice g α associée à la loi (p k,α ).
Montrer que pour s fixé, la fonction α → g α (s) est croissante.
3 - En déduire le nombre moyen d’individus infectés par malade, en fonction de m.
Quel est le nombre α min minimum qu’il faut choisir, pour assurer que la maladie soit
totalement enrayée ?
Commenter ce résultat.
4 - On se place maintenant sous l’hypothèse que α ≥ α min . Soit T α le temps d’extinction
de la maladie.
Montrer que pour n ∈ N, la fonction α → P i (T α ≤ n) est une fonction croissante.
Comment analysez-vous ce résultat ?
5 - Supposons que le processus initial de contamination soit un processus de BGW, et que
chaque individu puisse infecter 0, 1, 2 individus avec probabilités respectivement p 0 , p 1 , p 2 .
Donner une condition sur p 0 et p 2 pour que α min > 0.
Donner la valeur de α min > 0 dans ce cas.
Que vaut
P 1 (T αmin < ∞)?
77
Dans quel cas la taille moyenne de la population d’individus sains tend vers l’infini quand
n → ∞ ?
Dans quel cas la taille moyenne de la population d’individus infectés tend vers l’infini
quand n → ∞ ?
Exercice 3.8.2
Nous étudions l’impact de la vaccination sur la transmission d’une maladie infectieuse
dans une population d’individus. La propagation de cette maladie est modélisée par un
processus de Bienaymé-Galton-Watson (BGW). Par unité de temps, chaque malade peut,
indépendamment des autres, infecter k (k ≥ 0) individus (préalablement sains) et leur
transmettre la maladie avec probabilité p k . On note IP i la loi de ce processus issu de i
individus.
Nous supposons maintenant que dans cette population, chaque individu sain est vacciné
avec probabilité α, 0 ≤ α ≤ 1 et ne peut donc pas être contaminé. (On suppose que la
taille de la population est suffisamment grande pour que seule cette probabilité importe).
1 -Quelle est la probabilité p k,α (en fonction des p j , j ∈ N et de α), qu’un individu infecté
transmette réellement la maladie à k individus.
2 - Fixons α ∈ [0, 1]. Soit g la fonction génératrice associée à la loi (p k ), de moyenne m.
Donner en fonction de g la valeur de la fonction génératrice g α associée à la loi (p k,α ).
Montrer que pour s fixé, la fonction α → g α (s) est croissante.
3 - En déduire le nombre moyen d’individus infectés par malade, en fonction de m.
Quel est le nombre α min minimum qu’il faut choisir, pour assurer que la maladie soit
totalement enrayée ?
Commenter ce résultat.
4 - On se place maintenant sous l’hypothèse que α ≥ α min . Soit T α le temps d’extinction
de la maladie.
Montrer que pour n ∈ N, la fonction α → P i (T α ≤ n) est une fonction croissante.
Comment analysez-vous ce résultat ?
5 - Supposons que le processus initial de contamination soit un processus de BGW, et que
chaque individu puisse infecter 0, 1, 2 individus avec probabilités respectivement p 0 , p 1 , p 2 .
Donner une condition sur p 0 et p 2 pour que α min > 0.
Donner la valeur de α min > 0 dans ce cas.
Que vaut
P 1 (T αmin < ∞)?
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