CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Théorème 3.7.9 Si λ 0 ≤ 1, la population s’éteint presque-sûrement.
Si λ 0 > 1, la population survit avec probabilité positive et croît géométriquement, avec
taux de croissance λ 0 sur son ensemble de persistance. La répartition dans chaque type
est donnée par le vecteur v.
3.8 Exercices
Exercice 3.8.1 Un modèle épidémiologique
Au temps n, une population est constituée d’individus sains en quantité S n et d’individus
infectés en quantité I n . À chaque pas de temps, indépendamment,
• chaque individu sain est infecté avec probabilité τ , et avec probabilité 1−τ est remplacé
par un nombre aléatoire d’individus sains, de fonction génératrice notée g ;
• chaque individu infecté meurt avec probabilité a, et avec probabilité 1 − a est remplacé
par un nombre aléatoire d’individus infectés, de fonction génératrice g.
Le but du problème est d’étudier le comportement asymptotique de cette population et
en particulier son extinction. On suppose que a, τ ∈]0, 1[ pour éviter les cas dégénérés.
On note IP (i,j) la loi de la marche aléatoire (S n , I n ) quand (S 0 , I 0 ) = (i, j).
1 - Comment interprétez-vous le fait que la fonction g soit la même pour les deux lois de
reproduction ?
On pose u n = IP (1,0) (S n + I n = 0), v n = IP (0,1) (S n + I n = 0).
2 - Justifier que pour tout i, j, n ∈ N,
IP (i,j) (S n = 0, I n = 0) = u
i
n v
j
n .
3 - Montrer les relations suivantes :
u n+1 = τv n + (1 − τ ) g(u n )
v n+1 = a + (1 − a) g(v n ).
En déduire les équations vérifiées par q 1 et q 2 , où q 1 (respectivement q 2 ) désigne la probabilité d’extinction d’une population issue d’un individu sain (respectivement infecté).
Discuter en fonction de τ , les valeurs de q 1 et q 2 dans le cas où g(s) = s
2 et a =
1
2
.
4 - On suppose que g est dérivable en 1.
Calculer le nombre moyen (E(S n ), E(I n )) d’individus sains et infectés au temps n en
fonction de (E(S n−1 ), E(I n−1 )).
Donner la valeur propre maximale de la matrice des reproductions moyennes. Peut-on en
déduire directement le critère d’extinction global de la population ?
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Théorème 3.7.9 Si λ 0 ≤ 1, la population s’éteint presque-sûrement.
Si λ 0 > 1, la population survit avec probabilité positive et croît géométriquement, avec
taux de croissance λ 0 sur son ensemble de persistance. La répartition dans chaque type
est donnée par le vecteur v.
3.8 Exercices
Exercice 3.8.1 Un modèle épidémiologique
Au temps n, une population est constituée d’individus sains en quantité S n et d’individus
infectés en quantité I n . À chaque pas de temps, indépendamment,
• chaque individu sain est infecté avec probabilité τ , et avec probabilité 1−τ est remplacé
par un nombre aléatoire d’individus sains, de fonction génératrice notée g ;
• chaque individu infecté meurt avec probabilité a, et avec probabilité 1 − a est remplacé
par un nombre aléatoire d’individus infectés, de fonction génératrice g.
Le but du problème est d’étudier le comportement asymptotique de cette population et
en particulier son extinction. On suppose que a, τ ∈]0, 1[ pour éviter les cas dégénérés.
On note IP (i,j) la loi de la marche aléatoire (S n , I n ) quand (S 0 , I 0 ) = (i, j).
1 - Comment interprétez-vous le fait que la fonction g soit la même pour les deux lois de
reproduction ?
On pose u n = IP (1,0) (S n + I n = 0), v n = IP (0,1) (S n + I n = 0).
2 - Justifier que pour tout i, j, n ∈ N,
IP (i,j) (S n = 0, I n = 0) = u
i
n v
j
n .
3 - Montrer les relations suivantes :
u n+1 = τv n + (1 − τ ) g(u n )
v n+1 = a + (1 − a) g(v n ).
En déduire les équations vérifiées par q 1 et q 2 , où q 1 (respectivement q 2 ) désigne la probabilité d’extinction d’une population issue d’un individu sain (respectivement infecté).
Discuter en fonction de τ , les valeurs de q 1 et q 2 dans le cas où g(s) = s
2 et a =
1
2
.
4 - On suppose que g est dérivable en 1.
Calculer le nombre moyen (E(S n ), E(I n )) d’individus sains et infectés au temps n en
fonction de (E(S n−1 ), E(I n−1 )).
Donner la valeur propre maximale de la matrice des reproductions moyennes. Peut-on en
déduire directement le critère d’extinction global de la population ?
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