3.7. EXTENSION 3 : LE PROCESSUS DE BGW MULTITYPE
long vers une valeur strictement positive. En revanche, les nombres moyens d’individus
peuvent différer suivant le type de l’individu initial : plus fertile est le type de l’ancêtre,
plus grande est sa descendance.
Revenons à l’Exemple 3.7.3. Dans ce cas la matrice de reproduction moyenne aura la
forme suivante
M =
⎛
⎝
1 − σ
0
ρ m
σ
1 − σ
1 − ρ
0
σ
0
⎞
⎠ .
Il est facile de vérifier que M
2 est à coefficients strictement positifs et la matrice M vérifie
les hypothèses du théorème de Perron-Frobenius. Il est difficile de trouver la valeur propre
dominante par un calcul élémentaire sauf dans des cas particuliers. Par exemple, si m = 1,
nous pouvons montrer que λ = 1 est valeur propre et que le polynôme caractéristique
vaut pour λ ∈ C,
det(M − λI) = −(λ − 1)
λ
2 + (σ + σ
− 1)λ + σ
(σ + ρ − 1)
.
Ainsi, si en particulier (σ + σ
− 1)
2
− 4σ
(σ + ρ − 1) < 0 (ce qui sera le cas le plus courant
car σ, σ
, ρ sont des nombres proches de 1), alors 1 est la racine simple de la matrice.
Cela entraînera donc dans ce cas que le processus est critique.
Nous allons simplifier le problème en oubliant les individus flottants. Nous avons donc deux
types, juvéniles et reproducteurs, et la matrice de reproduction moyenne vaut alors
M =
s 1 m
s 2 0
.
Elle vérifie encore les hypothèses du théorème de Perron-Frobenius. Soit λ ∈ C.
det(M − λI) = −λ(s 1 − λ) − s 2 mσ.
Le discriminant vaut Δ = (s 1 )
2 + 4ρms 2 > 0 et la racine positive vaut λ 0 =
s1+
√
Δ
2
.
Une analyse immédiate montre que
λ 0 > 1 ⇐⇒ 1 − s 1 − ms 2 < 0
λ 0 < 1 ⇐⇒ 1 − s 1 − ms 2 > 0
λ 0 = 1 ⇐⇒ 1 − s 1 − ms 2 = 0.
Ainsi, la population de lynx va s’éteindre si 1 − s 1 − ms 2 > 0 et se développer avec
probabilité positive si 1 − s 1 − ms 2 < 0 . La valeur critique pour la moyenne de la loi de
reproduction des reproducteurs est donc
1−s1
s2
.
La Proposition 3.7.8 donne un comportement en moyenne, mais il est également possible
d’étudier le comportement presque-sûr du processus stochastique, comme cela a été fait
dans le cadre du processus de Galton-Watson (cf. Athreya [5] chap. 5). Nous pouvons
alors résumer les résultats dans le théorème suivant.
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long vers une valeur strictement positive. En revanche, les nombres moyens d’individus
peuvent différer suivant le type de l’individu initial : plus fertile est le type de l’ancêtre,
plus grande est sa descendance.
Revenons à l’Exemple 3.7.3. Dans ce cas la matrice de reproduction moyenne aura la
forme suivante
M =
⎛
⎝
1 − σ
0
ρ m
σ
1 − σ
1 − ρ
0
σ
0
⎞
⎠ .
Il est facile de vérifier que M
2 est à coefficients strictement positifs et la matrice M vérifie
les hypothèses du théorème de Perron-Frobenius. Il est difficile de trouver la valeur propre
dominante par un calcul élémentaire sauf dans des cas particuliers. Par exemple, si m = 1,
nous pouvons montrer que λ = 1 est valeur propre et que le polynôme caractéristique
vaut pour λ ∈ C,
det(M − λI) = −(λ − 1)
λ
2 + (σ + σ
− 1)λ + σ
(σ + ρ − 1)
.
Ainsi, si en particulier (σ + σ
− 1)
2
− 4σ
(σ + ρ − 1) < 0 (ce qui sera le cas le plus courant
car σ, σ
, ρ sont des nombres proches de 1), alors 1 est la racine simple de la matrice.
Cela entraînera donc dans ce cas que le processus est critique.
Nous allons simplifier le problème en oubliant les individus flottants. Nous avons donc deux
types, juvéniles et reproducteurs, et la matrice de reproduction moyenne vaut alors
M =
s 1 m
s 2 0
.
Elle vérifie encore les hypothèses du théorème de Perron-Frobenius. Soit λ ∈ C.
det(M − λI) = −λ(s 1 − λ) − s 2 mσ.
Le discriminant vaut Δ = (s 1 )
2 + 4ρms 2 > 0 et la racine positive vaut λ 0 =
s1+
√
Δ
2
.
Une analyse immédiate montre que
λ 0 > 1 ⇐⇒ 1 − s 1 − ms 2 < 0
λ 0 < 1 ⇐⇒ 1 − s 1 − ms 2 > 0
λ 0 = 1 ⇐⇒ 1 − s 1 − ms 2 = 0.
Ainsi, la population de lynx va s’éteindre si 1 − s 1 − ms 2 > 0 et se développer avec
probabilité positive si 1 − s 1 − ms 2 < 0 . La valeur critique pour la moyenne de la loi de
reproduction des reproducteurs est donc
1−s1
s2
.
La Proposition 3.7.8 donne un comportement en moyenne, mais il est également possible
d’étudier le comportement presque-sûr du processus stochastique, comme cela a été fait
dans le cadre du processus de Galton-Watson (cf. Athreya [5] chap. 5). Nous pouvons
alors résumer les résultats dans le théorème suivant.
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