CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
• AB = BA = 0,
• Il existe des constantes ρ ∈]0, λ 0 [ et C > 0 telles qu’aucun des éléments de la matrice
B
n n’excède Cρ
n .
Remarquons qu’il est facile de vérifier que A = (v k u j ) k,j∈{1,··· ,K} satisfait : Av = v,
A
t u = u et que A
n = A pour tout n. (A
t désigne la matrice transposée de A).
Pour une lecture plus facile des résultats nous allons en fait appliquer ce théorème à la
matrice M
t transposée de M . Notons λ 0 désigne la valeur propre dominante commune à
M et M
t . Nous obtenons alors immédiatement la proposition suivante.
Proposition 3.7.8 Le processus de branchement multitype de matrice de reproduction
M (satisfaisant (3.7.33)) est
• sous-critique si λ 0 < 1,
• critique si λ 0 = 1,
• surcritique si λ 0 > 1.
En particulier, si λ 0 < 1, le processus de branchement multitype s’éteint presque-sûrement.
Plus précisément,
E(X n ) ∼ n→∞ (λ 0 )
n A
t E(X 0 ).
Si la population initiale se réduit à un individu de type j, on a
E j (X
(k)
n ) ∼ n→∞ (λ 0 )
n u k v j .
Pour une population initiale d’un seul individu de type donné, la limite du nombre moyen
d’individus de type k divisé par la taille moyenne de la population, quand le temps tend
vers l’infini, sera donnée par
lim
n→∞
E(X
(k)
n )
E(|X n |)
=
u k
u 1 + · · · + u K
= u k ,
où |X n | désigne le nombre total d’éléments de la population à la génération n.
Preuve. La preuve est une application immédiate du Théorème de Perron-Frobenius.
E j (X
(k)
n ) =
λ
n
0 A
t
kj + (B
n )
t
kj
E j (X 0 ) ∼ n→∞ λ
n
0 u k v j .
Le calcul des proportions limites est alors immédiat.
Ainsi, u k représente la proportion d’individus de type k et v j représente la fertilité
d’un individu de type j. D’un point de vue biologique, nous en déduisons que dans
une population satisfaisant l’hypothèse (3.7.33), tous les types croissent (en moyenne) au
même taux λ 0 et les proportions d’individus de chaque type vont se stabiliser en temps
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• AB = BA = 0,
• Il existe des constantes ρ ∈]0, λ 0 [ et C > 0 telles qu’aucun des éléments de la matrice
B
n n’excède Cρ
n .
Remarquons qu’il est facile de vérifier que A = (v k u j ) k,j∈{1,··· ,K} satisfait : Av = v,
A
t u = u et que A
n = A pour tout n. (A
t désigne la matrice transposée de A).
Pour une lecture plus facile des résultats nous allons en fait appliquer ce théorème à la
matrice M
t transposée de M . Notons λ 0 désigne la valeur propre dominante commune à
M et M
t . Nous obtenons alors immédiatement la proposition suivante.
Proposition 3.7.8 Le processus de branchement multitype de matrice de reproduction
M (satisfaisant (3.7.33)) est
• sous-critique si λ 0 < 1,
• critique si λ 0 = 1,
• surcritique si λ 0 > 1.
En particulier, si λ 0 < 1, le processus de branchement multitype s’éteint presque-sûrement.
Plus précisément,
E(X n ) ∼ n→∞ (λ 0 )
n A
t E(X 0 ).
Si la population initiale se réduit à un individu de type j, on a
E j (X
(k)
n ) ∼ n→∞ (λ 0 )
n u k v j .
Pour une population initiale d’un seul individu de type donné, la limite du nombre moyen
d’individus de type k divisé par la taille moyenne de la population, quand le temps tend
vers l’infini, sera donnée par
lim
n→∞
E(X
(k)
n )
E(|X n |)
=
u k
u 1 + · · · + u K
= u k ,
où |X n | désigne le nombre total d’éléments de la population à la génération n.
Preuve. La preuve est une application immédiate du Théorème de Perron-Frobenius.
E j (X
(k)
n ) =
λ
n
0 A
t
kj + (B
n )
t
kj
E j (X 0 ) ∼ n→∞ λ
n
0 u k v j .
Le calcul des proportions limites est alors immédiat.
Ainsi, u k représente la proportion d’individus de type k et v j représente la fertilité
d’un individu de type j. D’un point de vue biologique, nous en déduisons que dans
une population satisfaisant l’hypothèse (3.7.33), tous les types croissent (en moyenne) au
même taux λ 0 et les proportions d’individus de chaque type vont se stabiliser en temps
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