3.7. EXTENSION 3 : LE PROCESSUS DE BGW MULTITYPE
Preuve. Il suffit d’écrire
E(X
(k)
n | X n−1 ) = E
⎛
⎜
⎝
K
j=1
X
(j)
n−1
i=1
Y
(k)
j (i)
X n−1
⎞
⎟
⎠ =
K
j=1
E(Y
(k)
j ) X
(j)
n−1 .
Il y aura sous-criticalité et extinction si la matrice M
n
→ 0 et sur-criticalité si M
n
→ +∞
(dans un sens à définir). Une question qui se pose est alors de savoir si l’on peut caractériser
la criticalité par un seul paramètre scalaire.
De manière évidente, la matrice M est positive, au sens où tous ses termes sont positifs.
Dans la suite, nous ferons l’hypothèse supplémentaire suivante (voir Athreya-Ney [5],
Haccou-Jagers-Vatutin [37]) :
Il existe un entier n 0 tel que tous les éléments de la matrice M
n0 sont strictement positifs.
(3.7.33)
De telles matrices ont des propriétés intéressantes (cf. Serre [68]).
D’un point de vue biologique, cela veut dire que toute configuration initiale peut amener
en temps fini à toute autre composition de la population en les différents types.
Enonçons le théorème fondamental suivant.
Théorème 3.7.7 Théorème de Perron-Frobenius (cf. [68], [37]).
Soit M une matrice carrée K × K à coefficients positifs et satisfaisant (3.7.33). Alors
1) il existe un unique nombre réel λ 0 > 0 tel que
• λ 0 est une valeur propre simple de M ,
• toute valeur propre λ de M (réelle ou complexe) est telle que
|λ| ≤ λ 0 .
La valeur propre λ 0 est appelée valeur propre dominante de M .
2) le vecteur propre à gauche u = (u 1 , · · · , u K ) et le vecteur propre à droite v = (v 1 , · · · , v K )
correspondant à la valeur propre λ 0 peuvent être choisis tels que
u k > 0 ; v k > 0 ;
K
k=1
u k = 1 ;
K
k=1
u k v k = 1.
Dans ces conditions, les vecteurs propres sont uniques. De plus,
M
n = λ
n
0 A + B
n ,
où A = (v k u j ) k,j∈{1,··· ,K} et B sont des matrices telles que :
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Preuve. Il suffit d’écrire
E(X
(k)
n | X n−1 ) = E
⎛
⎜
⎝
K
j=1
X
(j)
n−1
i=1
Y
(k)
j (i)
X n−1
⎞
⎟
⎠ =
K
j=1
E(Y
(k)
j ) X
(j)
n−1 .
Il y aura sous-criticalité et extinction si la matrice M
n
→ 0 et sur-criticalité si M
n
→ +∞
(dans un sens à définir). Une question qui se pose est alors de savoir si l’on peut caractériser
la criticalité par un seul paramètre scalaire.
De manière évidente, la matrice M est positive, au sens où tous ses termes sont positifs.
Dans la suite, nous ferons l’hypothèse supplémentaire suivante (voir Athreya-Ney [5],
Haccou-Jagers-Vatutin [37]) :
Il existe un entier n 0 tel que tous les éléments de la matrice M
n0 sont strictement positifs.
(3.7.33)
De telles matrices ont des propriétés intéressantes (cf. Serre [68]).
D’un point de vue biologique, cela veut dire que toute configuration initiale peut amener
en temps fini à toute autre composition de la population en les différents types.
Enonçons le théorème fondamental suivant.
Théorème 3.7.7 Théorème de Perron-Frobenius (cf. [68], [37]).
Soit M une matrice carrée K × K à coefficients positifs et satisfaisant (3.7.33). Alors
1) il existe un unique nombre réel λ 0 > 0 tel que
• λ 0 est une valeur propre simple de M ,
• toute valeur propre λ de M (réelle ou complexe) est telle que
|λ| ≤ λ 0 .
La valeur propre λ 0 est appelée valeur propre dominante de M .
2) le vecteur propre à gauche u = (u 1 , · · · , u K ) et le vecteur propre à droite v = (v 1 , · · · , v K )
correspondant à la valeur propre λ 0 peuvent être choisis tels que
u k > 0 ; v k > 0 ;
K
k=1
u k = 1 ;
K
k=1
u k v k = 1.
Dans ces conditions, les vecteurs propres sont uniques. De plus,
M
n = λ
n
0 A + B
n ,
où A = (v k u j ) k,j∈{1,··· ,K} et B sont des matrices telles que :
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