CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Il y aura extinction de la population à un certain temps n s’il y a extinction de chaque
type et donc si pour tout j ∈ {1, · · · , K}, X
(j)
n = 0. En raisonnant toujours comme dans
le cas monotype, il est possible de calculer ces probabilités d’extinction en fonction des
solutions du système donné dans le théorème suivant. (Nous référons à Athreya-Ney [5]
pour la preuve).
Théorème 3.7.5
P
X
(j)
n = 0, ∀j
X
(j)
0 = k j , ∀j
=
K
j=1
U
(j)
n
kj ,
où U
(j)
n , j ∈ {1, · · · , K} est l’unique solution du système : pour tout j ∈ {1, · · · , K},
U
(j)
0
=
0
U
(j)
n
= f
j
1
U
(1)
n−1 , · · · , U
(K)
n−1
.
Il est alors possible d’en déduire des résultats décrivant le comportement en temps long
du processus, suivant le même raisonnement que dans le cas monotype, voir Athreya-Ney
[5] pour plus de détails.
Nous allons uniquement nous intéresser ici au comportement asymptotique de la matrice
des espérances du processus et en déduire une généralisation des cas sous-critique, critique,
surcritique développés dans le Chapitre 3.2.
La reproduction moyenne est décrite par une matrice
M = (m kj ) k,j∈{1,··· ,K} ,
(3.7.30)
où
m kj = E(Y
(k)
j )
est le nombre moyen d’individus de type k issus d’un individu de type j. La somme des
coefficients de la k-ième ligne représente donc le nombre moyen d’individus de type k
à chaque reproduction et la somme des coefficients de la j-ième colonne représente le
nombre moyen d’individus issus d’un individu de type j.
Proposition 3.7.6 L’espérance du nombre d’individus de type k à la génération n vérifie
E(X
(k)
n ) = E(E(X
(k)
n |X n−1 )) =
K
j=1
m kj E(X
(j)
n−1 ) =
M E(X n−1 )
k
.
(3.7.31)
Ainsi, nous avons l’égalité vectorielle
E(X n ) = M E(X n−1 ) = M
n E(X 0 ).
(3.7.32)
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