3.7. EXTENSION 3 : LE PROCESSUS DE BGW MULTITYPE
Pour ces processus de Galton-Watson multi-types, les fonctions génératrices vont jouer le
même rôle fondamental que dans le cas monotype.
Pour tout n ∈ N, tout type j ∈ {1, · · · , K} et s = (s 1 , · · · , s K ) ∈ [0, 1]
K , nous allons
définir la j-ième fonction génératrice f
j
n (s) qui déterminera la distribution du nombre de
descendants de chaque type à la génération n, produits par une particule de type j.
f
j
n (s) = E
s
X
(1)
n
1
· · · s
X
(K)
n
K
X
(j)
0 = 1, X
(m)
0
= 0, ∀m = j
=
i1,··· ,i K ≥0
p
j
n (i 1 , · · · , i K ) s
i1
1 · · · s
i K
K ,
où p
j
n (i 1 , · · · , i K ) est la probabilité qu’un parent de type j produise i 1 descendants de type
1, ..., i K descendants de type K, à la génération n.
Exemple 3.7.3 Considérons une population de lynx. Ces animaux sont tout d’abord juvéniles. En grandissant les lynx deviennent pour la plupart aptes à la reproduction mais
sont incapables de se reproduire s’ils ne se retrouvent pas dans une meute. Ils sont alors
dits flottants. Dès lors qu’ils sont en meute, ils peuvent se reproduire. Toutefois, il arrive
qu’un individu ne puisse s’intégrer à la meute et reste flottant. La population de lynx est
donc composée de 3 types : juvénile (J), flottant (F), reproducteur (R). Donnons-nous
σ, σ
, ρ ∈ (0, 1). Un individu passe
• de l’état J à l’état F avec probabilité σ
• de l’état J à l’état J avec probabilité 1 − σ
• de l’état F à l’état R avec probabilité σ
• de l’état F à l’état F avec probabilité 1 − σ
• de l’état R à l’état F avec probabilité 1 − ρ (le lynx sort de la meute)
• Enfin, un individu de type R se reproduit avec probabilité ρ et donne un nombre aléatoires de juvéniles qui suit une loi de Poisson de paramètre m.
A la première génération , nous aurons donc
f
1
1 (s 1 , s 2 , s 3 ) = σs 2 + (1 − σ)s 1
f
2
1 (s 1 , s 2 , s 3 ) = σ
s 3 + (1 − σ
)s 2
f
3
1 (s 1 , s 2 , s 3 ) = e
m(s1−1) ρs 3 + (1 − ρ)s 2 .
Par un raisonnement analogue à celui du cas monotype, nous pouvons montrer la formule
de récurrence suivante.
Proposition 3.7.4 Pour tout j ∈ {1, · · · , K}, pour tout n ∈ N
∗ et s = (s 1 , · · · , s K ) ∈
[0, 1]
K ,
f
j
n (s) = f
j
n−1
f
1
1 (s), f
2
1 (s), · · · , f
K
1 (s)
= f
j
1
f
1
n−1 (s), f
2
n−1 (s), · · · , f
K
n−1 (s)
.
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Pour ces processus de Galton-Watson multi-types, les fonctions génératrices vont jouer le
même rôle fondamental que dans le cas monotype.
Pour tout n ∈ N, tout type j ∈ {1, · · · , K} et s = (s 1 , · · · , s K ) ∈ [0, 1]
K , nous allons
définir la j-ième fonction génératrice f
j
n (s) qui déterminera la distribution du nombre de
descendants de chaque type à la génération n, produits par une particule de type j.
f
j
n (s) = E
s
X
(1)
n
1
· · · s
X
(K)
n
K
X
(j)
0 = 1, X
(m)
0
= 0, ∀m = j
=
i1,··· ,i K ≥0
p
j
n (i 1 , · · · , i K ) s
i1
1 · · · s
i K
K ,
où p
j
n (i 1 , · · · , i K ) est la probabilité qu’un parent de type j produise i 1 descendants de type
1, ..., i K descendants de type K, à la génération n.
Exemple 3.7.3 Considérons une population de lynx. Ces animaux sont tout d’abord juvéniles. En grandissant les lynx deviennent pour la plupart aptes à la reproduction mais
sont incapables de se reproduire s’ils ne se retrouvent pas dans une meute. Ils sont alors
dits flottants. Dès lors qu’ils sont en meute, ils peuvent se reproduire. Toutefois, il arrive
qu’un individu ne puisse s’intégrer à la meute et reste flottant. La population de lynx est
donc composée de 3 types : juvénile (J), flottant (F), reproducteur (R). Donnons-nous
σ, σ
, ρ ∈ (0, 1). Un individu passe
• de l’état J à l’état F avec probabilité σ
• de l’état J à l’état J avec probabilité 1 − σ
• de l’état F à l’état R avec probabilité σ
• de l’état F à l’état F avec probabilité 1 − σ
• de l’état R à l’état F avec probabilité 1 − ρ (le lynx sort de la meute)
• Enfin, un individu de type R se reproduit avec probabilité ρ et donne un nombre aléatoires de juvéniles qui suit une loi de Poisson de paramètre m.
A la première génération , nous aurons donc
f
1
1 (s 1 , s 2 , s 3 ) = σs 2 + (1 − σ)s 1
f
2
1 (s 1 , s 2 , s 3 ) = σ
s 3 + (1 − σ
)s 2
f
3
1 (s 1 , s 2 , s 3 ) = e
m(s1−1) ρs 3 + (1 − ρ)s 2 .
Par un raisonnement analogue à celui du cas monotype, nous pouvons montrer la formule
de récurrence suivante.
Proposition 3.7.4 Pour tout j ∈ {1, · · · , K}, pour tout n ∈ N
∗ et s = (s 1 , · · · , s K ) ∈
[0, 1]
K ,
f
j
n (s) = f
j
n−1
f
1
1 (s), f
2
1 (s), · · · , f
K
1 (s)
= f
j
1
f
1
n−1 (s), f
2
n−1 (s), · · · , f
K
n−1 (s)
.
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