CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Nous supposons que les individus ne prennent qu’un nombre fini K de types distincts. Le
modèle de BGW multi-type consiste à décrire une population dans laquelle pour chaque
type j ∈ {1, · · · , K}, un individu de type j génère à la génération suivante, et indépendamment de tous les autres, un K-uplet décrivant la répartition de ses descendants en les
K types.
Exemple : La population est composée de deux types ♥ et ♠. Nous avons 5 individus
pour une certaine génération et à la génération suivante nous obtenons :
première génération :
♥
♥
♠
♠
♠
deuxième génération : (♥, ♥) (♥, ♠) (♥, ♠, ♠) (♥, ♠, ♠) (♠).
Nous supposerons de plus que pour chaque type j fixé, les k-uplets aléatoires issus de
chaque individu de type j sont indépendants et de même loi, et que les descendances de
tous les individus sont indépendantes entre elles.
Plus précisément, nous allons introduire le processus à valeurs vectorielles (colonnes)
X n =
X
(1)
n , · · · , X
(K)
n
T ,
(V
T désigne le vecteur colonne, transposé du vecteur ligne V ), décrivant le nombre d’individus de chaque type à la génération n, qui est à valeurs dans N
K . Supposons que la
distribution initiale soit définie par le vecteur
X
(1)
0 , · · · , X
(K)
0
T
. La première génération
sera alors définie par le vecteur
X
(1)
1 , · · · , X
(K)
1
T
, où pour k ∈ {1, · · · , K},
X
(k)
1 =
K
j=1
X
(j)
0
i=1
Y
(k)
j (i).
La variable aléatoire Y
(k)
j (i) représente le nombre d’enfants de type k issus du i-ième
individu de type j. On a indépendance des descendances aléatoires correspondant à
des types j différents. Pour j fixé, et conditionnellement à X
(j)
0 , les vecteurs aléatoires
Y
(1)
j , · · · , Y
(k)
j , · · · Y
(K)
j
sont indépendants. De plus, pour chaque j, k, chaque vecteur
Y
(k)
j (i), 1 ≤ i ≤ X
(j)
0
est composé de variables aléatoires indépendantes et de même loi.
Dans l’exemple "coeur et pique", nous avons X 0 =
2
3
et X 1 =
5
6
.
Remarque 3.7.1 Soulignons que les descendants de chaque individu d’un certain type
sont indépendants et de même loi, et que les descendances d’individus distincts à la nième génération sont indépendantes les unes des autres.
Définition 3.7.2 Ces processus sont appelés processus de Galton-Watson multitypes et font partie de la classe des processus de branchement multi-types.
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Nous supposons que les individus ne prennent qu’un nombre fini K de types distincts. Le
modèle de BGW multi-type consiste à décrire une population dans laquelle pour chaque
type j ∈ {1, · · · , K}, un individu de type j génère à la génération suivante, et indépendamment de tous les autres, un K-uplet décrivant la répartition de ses descendants en les
K types.
Exemple : La population est composée de deux types ♥ et ♠. Nous avons 5 individus
pour une certaine génération et à la génération suivante nous obtenons :
première génération :
♥
♥
♠
♠
♠
deuxième génération : (♥, ♥) (♥, ♠) (♥, ♠, ♠) (♥, ♠, ♠) (♠).
Nous supposerons de plus que pour chaque type j fixé, les k-uplets aléatoires issus de
chaque individu de type j sont indépendants et de même loi, et que les descendances de
tous les individus sont indépendantes entre elles.
Plus précisément, nous allons introduire le processus à valeurs vectorielles (colonnes)
X n =
X
(1)
n , · · · , X
(K)
n
T ,
(V
T désigne le vecteur colonne, transposé du vecteur ligne V ), décrivant le nombre d’individus de chaque type à la génération n, qui est à valeurs dans N
K . Supposons que la
distribution initiale soit définie par le vecteur
X
(1)
0 , · · · , X
(K)
0
T
. La première génération
sera alors définie par le vecteur
X
(1)
1 , · · · , X
(K)
1
T
, où pour k ∈ {1, · · · , K},
X
(k)
1 =
K
j=1
X
(j)
0
i=1
Y
(k)
j (i).
La variable aléatoire Y
(k)
j (i) représente le nombre d’enfants de type k issus du i-ième
individu de type j. On a indépendance des descendances aléatoires correspondant à
des types j différents. Pour j fixé, et conditionnellement à X
(j)
0 , les vecteurs aléatoires
Y
(1)
j , · · · , Y
(k)
j , · · · Y
(K)
j
sont indépendants. De plus, pour chaque j, k, chaque vecteur
Y
(k)
j (i), 1 ≤ i ≤ X
(j)
0
est composé de variables aléatoires indépendantes et de même loi.
Dans l’exemple "coeur et pique", nous avons X 0 =
2
3
et X 1 =
5
6
.
Remarque 3.7.1 Soulignons que les descendants de chaque individu d’un certain type
sont indépendants et de même loi, et que les descendances d’individus distincts à la nième génération sont indépendantes les unes des autres.
Définition 3.7.2 Ces processus sont appelés processus de Galton-Watson multitypes et font partie de la classe des processus de branchement multi-types.
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