3.7. EXTENSION 3 : LE PROCESSUS DE BGW MULTITYPE
Dans le cas où E(Z) < +∞, nous en déduisons que
sup
n
E
X n
m n
≤ E(X 0 ) +
∞
k=1
E
Z k
m k
≤ E(X 0 ) +
E(Z)
m − 1
.
La suite (X n /m
n ) n est ainsi une sous-martingale d’espérance uniformément bornée. Elle
converge alors presque-sûrement vers une variable aléatoire finie presque-sûrement. (Pour
ce résultat de convergence pour les sous-martingales qui généralise le Théorème 2.5.4, voir
par exemple [61]).
Dans le cas où nous avons seulement l’hypothèse E(log
+ Z) < +∞, la preuve est nettement
plus subtile. Le Lemme 3.6.3, appliqué avec ζ = Z et c = m (m > 1) entraîne que
E
X n
m n
H Z
0
≤ X 0 +
∞
k=1
Z k
m k < +∞ p.s..
Nous devons alors appliquer un théorème de convergence conditionnel, car conditionnellement à la donnée de X 0 et des Z k , k ≥ 1, la suite (X n /m
n ) n est d’espérance uniformément
bornée.
3.7 Extension 3 : le processus de BGW multitype
Comme nous l’avions suggéré dans les exemples du Paragraphe 3.1.1, il est intéressant
du point de vue pratique de considérer la dynamique d’une population composée de
sous-populations d’individus de types différents. Le type d’un individu est défini comme
un attribut (ou un ensemble d’attributs) qui reste fixé durant la vie de l’individu. Des
exemples classiques de tels types sont la taille à la naissance, le sexe, le génotype de
l’individu, son stade de maturité (juvénile, reproducteur) ... Le type peut affecter la distribution du nombre de descendants. Par exemple des individus juvéniles peuvent devenir
des individus reproducteurs (aptes à la reproduction) ou rester juvéniles (inaptes à la
reproduction), mais les individus reproducteurs produiront toujours des individus juvéniles. Les distributions des descendances seront donc différentes. (Elles n’ont pas le même
support). Un autre exemple est celui des génotypes : le génotype d’un parent affecte de
manière évidente le génotype de ses descendants et peut aussi affecter leur effectif. Dans
un modèle avec reproduction clonale (asexuée) et mutations, un individu aura, avec une
probabilité proche de 1, le même génotype que son parent mais avec une petite probabilité,
il pourra être de génotype mutant. Si c’est le cas, l’individu de type mutant produira à son
tour des individus portant ce nouveau type, avec une loi de reproduction qui pourra être
différente de la loi de reproduction initiale. Ces différences entre les lois de reproduction
des différents génotypes peuvent servir à modéliser la sélection sur la fertilité ou sur les
chances de survie, et l’évolution.
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Dans le cas où E(Z) < +∞, nous en déduisons que
sup
n
E
X n
m n
≤ E(X 0 ) +
∞
k=1
E
Z k
m k
≤ E(X 0 ) +
E(Z)
m − 1
.
La suite (X n /m
n ) n est ainsi une sous-martingale d’espérance uniformément bornée. Elle
converge alors presque-sûrement vers une variable aléatoire finie presque-sûrement. (Pour
ce résultat de convergence pour les sous-martingales qui généralise le Théorème 2.5.4, voir
par exemple [61]).
Dans le cas où nous avons seulement l’hypothèse E(log
+ Z) < +∞, la preuve est nettement
plus subtile. Le Lemme 3.6.3, appliqué avec ζ = Z et c = m (m > 1) entraîne que
E
X n
m n
H Z
0
≤ X 0 +
∞
k=1
Z k
m k < +∞ p.s..
Nous devons alors appliquer un théorème de convergence conditionnel, car conditionnellement à la donnée de X 0 et des Z k , k ≥ 1, la suite (X n /m
n ) n est d’espérance uniformément
bornée.
3.7 Extension 3 : le processus de BGW multitype
Comme nous l’avions suggéré dans les exemples du Paragraphe 3.1.1, il est intéressant
du point de vue pratique de considérer la dynamique d’une population composée de
sous-populations d’individus de types différents. Le type d’un individu est défini comme
un attribut (ou un ensemble d’attributs) qui reste fixé durant la vie de l’individu. Des
exemples classiques de tels types sont la taille à la naissance, le sexe, le génotype de
l’individu, son stade de maturité (juvénile, reproducteur) ... Le type peut affecter la distribution du nombre de descendants. Par exemple des individus juvéniles peuvent devenir
des individus reproducteurs (aptes à la reproduction) ou rester juvéniles (inaptes à la
reproduction), mais les individus reproducteurs produiront toujours des individus juvéniles. Les distributions des descendances seront donc différentes. (Elles n’ont pas le même
support). Un autre exemple est celui des génotypes : le génotype d’un parent affecte de
manière évidente le génotype de ses descendants et peut aussi affecter leur effectif. Dans
un modèle avec reproduction clonale (asexuée) et mutations, un individu aura, avec une
probabilité proche de 1, le même génotype que son parent mais avec une petite probabilité,
il pourra être de génotype mutant. Si c’est le cas, l’individu de type mutant produira à son
tour des individus portant ce nouveau type, avec une loi de reproduction qui pourra être
différente de la loi de reproduction initiale. Ces différences entre les lois de reproduction
des différents génotypes peuvent servir à modéliser la sélection sur la fertilité ou sur les
chances de survie, et l’évolution.
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