CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
où les variables aléatoires à valeurs entières ξ n,k sont indépendantes et pour chaque k, ξ n,k
décrit la contribution à la génération n des immigrants arrivés à la génération n − k. Ainsi
ξ n,k est la valeur à la génération k d’un processus de BGW sans immigration lié à la loi
de reproduction Y et ne dépend donc pas de n.
Nous cherchons à déterminer si X ∞ =
∞
k=0 ξ n,k est une variable aléatoire finie ou infinie.
Il est possible de montrer (grâce à un résultat appelé la loi du zéro-un, cf. [42] Théorème
10.6), que X ∞ est finie presque-sûrement ou infinie presque-sûrement. Rappelons que Z k
désigne le nombre d’immigrants arrivant à la génération k. Remarquons que ξ n,0 = Z n ,
ξ n,1 est égal au nombre d’enfants des Z n−1 migrants de la génération n − 1, etc. De
plus, les variables aléatoires (Z k ) k≥1 sont indépendantes et de même loi que Z, donc
E(log
+ Z) = E(log
+ Z k ), pour tout k ≥ 1. Soit G la tribu engendrée par les variables
aléatoires Z k , k ∈ N
∗ . Supposons tout d’abord que E(log
+ Z) < +∞. Nous avons alors
E(X ∞ |G) =
∞
k=0
Z k m
k .
En effet ξ n,0 a pour loi Z, l’espérance conditionnelle de ξ n,1 sachant G est égale à l’espérance
du nombre d’individu de la première génération issue de Z 1 individus, c’est-à-dire mZ 1 ,
etc. Nous pouvons alors appliquer le Lemme 3.6.3 (avec c =
1
m
puisque m < 1), et en
déduire que l’espérance conditionnelle est finie presque-sûrement, ce qui entraine que X ∞
est finie presque-sûrement.
Par un argument un peu plus compliqué que nous ne développerons pas ici, il est possible
de montrer la réciproque, à savoir que si X ∞ est finie presque-sûrement, E(log
+ Z) < +∞.
Remarquons que si E(X ∞ ) < +∞ presque-sûrement, cette réciproque est immédiate grâce
au Lemme 3.6.3.
Preuve du Théorème 3.6.2. Considérons tout d’abord le cas où E(log
+ Z) = +∞.
Grâce au Lemme 3.6.3, nous savons que lim sup n c
−n Z n = +∞, pour tout c > 1. Comme
X n ≥ Z n , le résultat s’en suit.
Supposons maintenant que E(log
+ Z) < +∞.
Soit H Z
n la tribu engendrée par X 0 , X 1 , · · · , X n ainsi que par toutes les variables aléatoires
Z k , k ∈ N
∗ . Nous avons alors
E
X n+1
m n+1
H Z
n
=
1
m n+1 E
Xn
i=1
Y i + Z n+1
H Z
n
=
X n
m n +
Z n+1
m n+1 ≥
X n
m n ,
car Z n+1 ≥ 0. Nous en déduisons que
X n
m n
n
est une H Z
n -sous-martingale et que, par
une récurrence immédiate,
E
X n
m n
H Z
0
= X 0 +
n
k=1
Z k
m k , pour tout n ≥ 1.
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où les variables aléatoires à valeurs entières ξ n,k sont indépendantes et pour chaque k, ξ n,k
décrit la contribution à la génération n des immigrants arrivés à la génération n − k. Ainsi
ξ n,k est la valeur à la génération k d’un processus de BGW sans immigration lié à la loi
de reproduction Y et ne dépend donc pas de n.
Nous cherchons à déterminer si X ∞ =
∞
k=0 ξ n,k est une variable aléatoire finie ou infinie.
Il est possible de montrer (grâce à un résultat appelé la loi du zéro-un, cf. [42] Théorème
10.6), que X ∞ est finie presque-sûrement ou infinie presque-sûrement. Rappelons que Z k
désigne le nombre d’immigrants arrivant à la génération k. Remarquons que ξ n,0 = Z n ,
ξ n,1 est égal au nombre d’enfants des Z n−1 migrants de la génération n − 1, etc. De
plus, les variables aléatoires (Z k ) k≥1 sont indépendantes et de même loi que Z, donc
E(log
+ Z) = E(log
+ Z k ), pour tout k ≥ 1. Soit G la tribu engendrée par les variables
aléatoires Z k , k ∈ N
∗ . Supposons tout d’abord que E(log
+ Z) < +∞. Nous avons alors
E(X ∞ |G) =
∞
k=0
Z k m
k .
En effet ξ n,0 a pour loi Z, l’espérance conditionnelle de ξ n,1 sachant G est égale à l’espérance
du nombre d’individu de la première génération issue de Z 1 individus, c’est-à-dire mZ 1 ,
etc. Nous pouvons alors appliquer le Lemme 3.6.3 (avec c =
1
m
puisque m < 1), et en
déduire que l’espérance conditionnelle est finie presque-sûrement, ce qui entraine que X ∞
est finie presque-sûrement.
Par un argument un peu plus compliqué que nous ne développerons pas ici, il est possible
de montrer la réciproque, à savoir que si X ∞ est finie presque-sûrement, E(log
+ Z) < +∞.
Remarquons que si E(X ∞ ) < +∞ presque-sûrement, cette réciproque est immédiate grâce
au Lemme 3.6.3.
Preuve du Théorème 3.6.2. Considérons tout d’abord le cas où E(log
+ Z) = +∞.
Grâce au Lemme 3.6.3, nous savons que lim sup n c
−n Z n = +∞, pour tout c > 1. Comme
X n ≥ Z n , le résultat s’en suit.
Supposons maintenant que E(log
+ Z) < +∞.
Soit H Z
n la tribu engendrée par X 0 , X 1 , · · · , X n ainsi que par toutes les variables aléatoires
Z k , k ∈ N
∗ . Nous avons alors
E
X n+1
m n+1
H Z
n
=
1
m n+1 E
Xn
i=1
Y i + Z n+1
H Z
n
=
X n
m n +
Z n+1
m n+1 ≥
X n
m n ,
car Z n+1 ≥ 0. Nous en déduisons que
X n
m n
n
est une H Z
n -sous-martingale et que, par
une récurrence immédiate,
E
X n
m n
H Z
0
= X 0 +
n
k=1
Z k
m k , pour tout n ≥ 1.
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