3.6. EXTENSION 2 : CHAÎNE DE BGW AVEC IMMIGRATION
Théorème 3.6.2 Supposons m > 1. On a alors la dichotomie suivante.
E(log
+ Z) < +∞ =⇒ lim
n
m
−n X n existe et est finie p.s..
E(log
+ Z) = +∞ =⇒ lim sup
n
c
−n X n = +∞ pour toute constante c > 1.
Ce théorème explore le comportement de X n dans le cas de reproduction surcritique. Dans
le premier cas, X n se comporte quand n tend vers l’infini de manière exponentielle, comme
dans le cas du processus de BGW sans immigration. En revanche, si E(ln
+ Z) = +∞, la
taille de la population explose plus vite qu’une fonction exponentielle.
Pour prouver ces théorèmes, nous allons utiliser le lemme suivant :
Lemme 3.6.3 Soient ζ 1 , ζ 2 , · · · des variables aléatoires positives indépendantes et de
même loi distribuée comme ζ. Alors pour tout c > 1,
E(log
+ ζ) < +∞ =⇒
n≥1
c
−n ζ n < +∞ p.s.
E(log
+ ζ) = +∞ =⇒ lim sup
n
c
−n ζ n = +∞ p.s.
Preuve du Lemme 3.6.3. (i) Montrons tout d’abord que toute suite de variables
aléatoires W 1 , W 2 , · · · positives indépendantes et équidistribuées (de même loi que W ),
lim sup n
W n
n
vaut presque-sûrement 0 ou l’infini suivant que E(W ) est fini ou non. En
effet, soit ε > 0. Nous avons alors
n
P
W n
n
> ε
=
n
i>nε
P(W n = i) =
i
n<
i
ε
P(W n = i) =
i
i
ε
P(W = i) =
1
ε
E(W ).
Si E(W ) < +∞, le Théorème de Borel-Cantelli entraîne que P(lim sup n {
Wn
n
> ε}) = 0 et
ainsi, la suite (
Wn
n
) n converge presque-sûrement vers 0. Si au contraire E(W ) = +∞, et
puisque les W i sont indépendantes, alors la probabilité ci-dessus vaut 1, et donc
Wn
n
tend
vers l’infini presque-sûrement.
(ii) Revenons maintenant à la preuve du Lemme 3.6.3. Considérons une suite (ζ n ) n de
variables aléatoires indépendantes et de même loi. Remarquons que si les résultats asymptotiques énoncés dans le Lemme 3.6.3 sont vrais pour la sous-suite des ζ n > 1, ils seront
encore vrais pour tous les ζ n . Limitons-nous à cette sous-suite et posons W n = log(ζ n ). Soit
aussi c > 1 et a = log c > 0. Alors pour tout n tel que ζ n > 1, on a c
−n ζ n = exp −n(a−
Wn
n
).
L’application de (i) à la suite (W n ) n entraîne le résultat escompté.
Preuve du Théorème 3.6.1. Remarquons que le processus de BGW avec immigration
(X n ) n issu de 0 et évalué à la génération n a même loi que
n
k=0
ξ n,k ,
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Théorème 3.6.2 Supposons m > 1. On a alors la dichotomie suivante.
E(log
+ Z) < +∞ =⇒ lim
n
m
−n X n existe et est finie p.s..
E(log
+ Z) = +∞ =⇒ lim sup
n
c
−n X n = +∞ pour toute constante c > 1.
Ce théorème explore le comportement de X n dans le cas de reproduction surcritique. Dans
le premier cas, X n se comporte quand n tend vers l’infini de manière exponentielle, comme
dans le cas du processus de BGW sans immigration. En revanche, si E(ln
+ Z) = +∞, la
taille de la population explose plus vite qu’une fonction exponentielle.
Pour prouver ces théorèmes, nous allons utiliser le lemme suivant :
Lemme 3.6.3 Soient ζ 1 , ζ 2 , · · · des variables aléatoires positives indépendantes et de
même loi distribuée comme ζ. Alors pour tout c > 1,
E(log
+ ζ) < +∞ =⇒
n≥1
c
−n ζ n < +∞ p.s.
E(log
+ ζ) = +∞ =⇒ lim sup
n
c
−n ζ n = +∞ p.s.
Preuve du Lemme 3.6.3. (i) Montrons tout d’abord que toute suite de variables
aléatoires W 1 , W 2 , · · · positives indépendantes et équidistribuées (de même loi que W ),
lim sup n
W n
n
vaut presque-sûrement 0 ou l’infini suivant que E(W ) est fini ou non. En
effet, soit ε > 0. Nous avons alors
n
P
W n
n
> ε
=
n
i>nε
P(W n = i) =
i
n<
i
ε
P(W n = i) =
i
i
ε
P(W = i) =
1
ε
E(W ).
Si E(W ) < +∞, le Théorème de Borel-Cantelli entraîne que P(lim sup n {
Wn
n
> ε}) = 0 et
ainsi, la suite (
Wn
n
) n converge presque-sûrement vers 0. Si au contraire E(W ) = +∞, et
puisque les W i sont indépendantes, alors la probabilité ci-dessus vaut 1, et donc
Wn
n
tend
vers l’infini presque-sûrement.
(ii) Revenons maintenant à la preuve du Lemme 3.6.3. Considérons une suite (ζ n ) n de
variables aléatoires indépendantes et de même loi. Remarquons que si les résultats asymptotiques énoncés dans le Lemme 3.6.3 sont vrais pour la sous-suite des ζ n > 1, ils seront
encore vrais pour tous les ζ n . Limitons-nous à cette sous-suite et posons W n = log(ζ n ). Soit
aussi c > 1 et a = log c > 0. Alors pour tout n tel que ζ n > 1, on a c
−n ζ n = exp −n(a−
Wn
n
).
L’application de (i) à la suite (W n ) n entraîne le résultat escompté.
Preuve du Théorème 3.6.1. Remarquons que le processus de BGW avec immigration
(X n ) n issu de 0 et évalué à la génération n a même loi que
n
k=0
ξ n,k ,
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