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CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
3.6 Extension 2 : Chaîne de BGW avec immigration
Ce paragraphe est essentiellement issu de Lambert [53].
Nous avons vu que la chaîne de BGW a un comportement limite “dégénéré” en un certain
sens et il n’y a pas de probabilité invariante hormis la masse de Dirac en 0. La situation
est différente avec de l’immigration, comme nous allons le voir ci-dessous.
Reprenons le modèle introduit au Chapitre 3.1, en supposant que pour tout i ∈ N,
Q
i = Q ; η
i = η.
Ainsi, la chaîne de vie et de mort est densité-indépendante avec immigration et est décrite
par
X n+1 =
i
k=1
Y n,k + Z n+1 si X n = i, pour i ∈ N.
(3.6.28)
Les variables aléatoires (Z n ) n≥1 ont la même loi η qu’une variable aléatoire Z.
La différence essentielle avec la chaîne de BGW simple (sans immigration) est que 0 n’est
plus un état absorbant, puisque P 0,j = η j est strictement positif pour au moins un j ≥ 1.
Dans la suite, nous supposons que
0 < q 0 < 1 , q 1 < 1 , η 0 < 1.
(3.6.29)
Comme dans le paragraphe précédent, notons par m l’espérance de la loi de reproduction.
Dès son apparition, chaque immigrant se comporte comme les individus déjà présents dans
la population et engendre donc un arbre de BGW composé de ses descendants, avec la
même loi de reproduction.
Les théorèmes suivants décrivent le comportement en temps long du processus de BGW
avec immigration. Ces théorèmes sont plus subtils à montrer que dans le cas sans immigration et nous n’en donnerons que des démonstrations partielles.
Théorème 3.6.1 Supposons m < 1. Notons log
+ Z = sup(log Z, 0). On a alors la dichotomie suivante.
E(log
+ Z) < +∞ =⇒ (X n ) converge en loi.
E(log
+ Z) = +∞ =⇒ (X n ) converge en probabilité vers + ∞.
Remarquons que ce théorème entraîne en particulier la convergence en loi de (X n ) n pour
m < 1 et E(Z) < +∞. Ainsi, dans un cas sous-critique où la population sans immigration
s’éteindrait presque-sûrement, une immigration va entraîner, soit la convergence vers un
état limite non trivial, soit même une explosion de la population.
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CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
3.6 Extension 2 : Chaîne de BGW avec immigration
Ce paragraphe est essentiellement issu de Lambert [53].
Nous avons vu que la chaîne de BGW a un comportement limite “dégénéré” en un certain
sens et il n’y a pas de probabilité invariante hormis la masse de Dirac en 0. La situation
est différente avec de l’immigration, comme nous allons le voir ci-dessous.
Reprenons le modèle introduit au Chapitre 3.1, en supposant que pour tout i ∈ N,
Q
i = Q ; η
i = η.
Ainsi, la chaîne de vie et de mort est densité-indépendante avec immigration et est décrite
par
X n+1 =
i
k=1
Y n,k + Z n+1 si X n = i, pour i ∈ N.
(3.6.28)
Les variables aléatoires (Z n ) n≥1 ont la même loi η qu’une variable aléatoire Z.
La différence essentielle avec la chaîne de BGW simple (sans immigration) est que 0 n’est
plus un état absorbant, puisque P 0,j = η j est strictement positif pour au moins un j ≥ 1.
Dans la suite, nous supposons que
0 < q 0 < 1 , q 1 < 1 , η 0 < 1.
(3.6.29)
Comme dans le paragraphe précédent, notons par m l’espérance de la loi de reproduction.
Dès son apparition, chaque immigrant se comporte comme les individus déjà présents dans
la population et engendre donc un arbre de BGW composé de ses descendants, avec la
même loi de reproduction.
Les théorèmes suivants décrivent le comportement en temps long du processus de BGW
avec immigration. Ces théorèmes sont plus subtils à montrer que dans le cas sans immigration et nous n’en donnerons que des démonstrations partielles.
Théorème 3.6.1 Supposons m < 1. Notons log
+ Z = sup(log Z, 0). On a alors la dichotomie suivante.
E(log
+ Z) < +∞ =⇒ (X n ) converge en loi.
E(log
+ Z) = +∞ =⇒ (X n ) converge en probabilité vers + ∞.
Remarquons que ce théorème entraîne en particulier la convergence en loi de (X n ) n pour
m < 1 et E(Z) < +∞. Ainsi, dans un cas sous-critique où la population sans immigration
s’éteindrait presque-sûrement, une immigration va entraîner, soit la convergence vers un
état limite non trivial, soit même une explosion de la population.
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