3.5. EXTENSION 1 : LES CHAÎNES DENSITÉ-DÉPENDANTES
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(avec m(0) = 0). Ainsi, la suite
Z n =
X 0 ,
si n = 0
X n /
n−1
l=0 m(X l )
si n ≥ 1
est une martingale positive, d’espérance E i (Z n ) = i. Elle converge alors P i –presquesûrement vers une limite finie. Par suite, la variable aléatoire M = sup n Z n est finie
P i –presque-sûrement et nous avons
X n ≤ MU n ,
où U n =
n−1
l=0
m(X l ).
(3.5.27)
Soit α N (i, j) le nombre de fois où X n passe en j ≥ 1 entre les instants 0 et N , en partant
de i. Comme 0 est un état absorbant, ce nombre est égal au nombre de fois où X n = j et
X n+1 > 0 pour n entre 0 et N − 1, plus éventuellement 1. Donc pour j ≥ 1,
α N (i, j) = E i (
N
n=0
{Xn=j} ) ≤ 1 + E i (
N −1
n=0
{Xn=j,Xn+1>0} ).
Comme p j0 = q 0 (j)
j
≥ b
j si m(j) ≤ a, nous pouvons en déduire par la propriété de
Markov qu’alors,
P i (X n = j, X n+1 > 0) = (1 − q 0 (j)
j ) P i (X n = j) ≤ (1 − b
j ) P i (X n = j),
puis que
α N (i, j) ≤ 1 + (1 − b
j )α N −1 (i, j).
En itérant cette relation et comme α 0 (i, j) ≤ 1, nous obtenons
α N (i, j) ≤ 1 + (1 − b
j ) + . . . + (1 − b
j )
N ≤ 1/b
j .
En faisant tendre N vers l’infini, nous en déduisons que E i (
n 1 {Xn=j} ) < +∞. Le
nombre de visites de la chaîne en j partant de i est intégrable.
Soit C l’ensemble (fini) des j tels que m(j) > a. Nous avons, si X 0 = i,
U n ≤ a
n−1
k=0 1 {X k ∈C c }
j∈C
m(j)
αn−1(i,j) .
Mais comme chaque variable aléatoire
n 1 {Xn=j} est presque-sûrement finie pour j ∈ C,
le nombre de passages par C est fini presque-sûrement. Ainsi,
n−1
k=0 {X k ∈C c } tend vers
l’infini avec n. Par suite U n converge vers 0 presque-sûrement quand n tend vers l’infini
et (3.5.27) entraîne qu’il en est de même de la suite X n . Comme X n est à valeurs entières
et que 0 est absorbant, cela donne le résultat.
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