CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
3.5 Extension 1 : Les chaînes densité-dépendantes
Nous allons considérer maintenant, de manière un peu superficielle, des chaînes BGW qui
sont densité–dépendantes et sans immigration. Bien sûr, ce sont des modèles beaucoup
plus crédibles du point de vue de la biologie. Nous les développerons plus en détail dans le
cadre du temps continu, dans le Chapitre 5. L’état 0 est toujours un état absorbant,
et le temps d’extinction est encore T 0 = inf{n : X n = 0}. En revanche, la “propriété de
branchement” n’est plus valide.
Typiquement, une telle chaîne modélise l’évolution d’une population de type BGW en
prenant en compte des ressources limitées qui diminuent les possibilités de reproduction,
lorsque l’effectif i de la population augmente. Il est alors naturel de supposer que les
moyennes m(i) des lois de reproduction Q(i) et les probabilités de mort sans descendance
q 0 (i) vérifient :
m(i + 1) ≤ m(i),
q 0 (i) ≤ q 0 (i + 1).
(3.5.26)
Par exemple, considérons un cadre d’interaction appelé "logistique" :
q 0 (i) =
q 0 + Ci
1 + Ci
; q (i) =
q
1 + Ci
,
où (q ) ∈N est une probabilité sur N et C une constante strictement positive. Ce modèle
vérifie bien les propriétés (3.5.26).
Nous allons nous contenter de montrer un résultat partiel d’extinction. Nous verrons
dans la preuve que la densité-dépendance entraîne de grosses complications techniques.
Rappelons que m(i) < 1 implique q 0 (i) > 0, puisque m(i) =
≥1 q (i) ≥
≥1 q (i) =
1 − q 0 (i).
Théorème 3.5.1 Supposons que la loi de reproduction vérifie q 0 (i) > 0 et m(i) < +∞
pour tout i ≥ 1. Supposons de plus qu’il existe un a ∈]0, 1[ tel que m(i) ≤ a pour tout
i ≥ 1 sauf (éventuellement) pour un nombre fini. Alors nous avons extinction presque-sûre
du processus : P i (T 0 < +∞) = 1 pour tout i.
Notons que sous (3.5.26) les hypothèses de ce théorème se réduisent à q 0 (1) > 0 et
lim i→∞ m(i) < 1.
Preuve. Comme q 0 (i) ≥ 1 − m(i) ≥ 1 − a si m(i) ≤ a, nous avons d’après les hypothèses
que
b = inf
{i; m(i)≤a}
q 0 (i) ∈]0, 1[
Le même calcul que dans le cas densité-indépendant montre que E i (X n+1 |F n ) = X n m(X n )
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3.5 Extension 1 : Les chaînes densité-dépendantes
Nous allons considérer maintenant, de manière un peu superficielle, des chaînes BGW qui
sont densité–dépendantes et sans immigration. Bien sûr, ce sont des modèles beaucoup
plus crédibles du point de vue de la biologie. Nous les développerons plus en détail dans le
cadre du temps continu, dans le Chapitre 5. L’état 0 est toujours un état absorbant,
et le temps d’extinction est encore T 0 = inf{n : X n = 0}. En revanche, la “propriété de
branchement” n’est plus valide.
Typiquement, une telle chaîne modélise l’évolution d’une population de type BGW en
prenant en compte des ressources limitées qui diminuent les possibilités de reproduction,
lorsque l’effectif i de la population augmente. Il est alors naturel de supposer que les
moyennes m(i) des lois de reproduction Q(i) et les probabilités de mort sans descendance
q 0 (i) vérifient :
m(i + 1) ≤ m(i),
q 0 (i) ≤ q 0 (i + 1).
(3.5.26)
Par exemple, considérons un cadre d’interaction appelé "logistique" :
q 0 (i) =
q 0 + Ci
1 + Ci
; q (i) =
q
1 + Ci
,
où (q ) ∈N est une probabilité sur N et C une constante strictement positive. Ce modèle
vérifie bien les propriétés (3.5.26).
Nous allons nous contenter de montrer un résultat partiel d’extinction. Nous verrons
dans la preuve que la densité-dépendance entraîne de grosses complications techniques.
Rappelons que m(i) < 1 implique q 0 (i) > 0, puisque m(i) =
≥1 q (i) ≥
≥1 q (i) =
1 − q 0 (i).
Théorème 3.5.1 Supposons que la loi de reproduction vérifie q 0 (i) > 0 et m(i) < +∞
pour tout i ≥ 1. Supposons de plus qu’il existe un a ∈]0, 1[ tel que m(i) ≤ a pour tout
i ≥ 1 sauf (éventuellement) pour un nombre fini. Alors nous avons extinction presque-sûre
du processus : P i (T 0 < +∞) = 1 pour tout i.
Notons que sous (3.5.26) les hypothèses de ce théorème se réduisent à q 0 (1) > 0 et
lim i→∞ m(i) < 1.
Preuve. Comme q 0 (i) ≥ 1 − m(i) ≥ 1 − a si m(i) ≤ a, nous avons d’après les hypothèses
que
b = inf
{i; m(i)≤a}
q 0 (i) ∈]0, 1[
Le même calcul que dans le cas densité-indépendant montre que E i (X n+1 |F n ) = X n m(X n )
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