3.4. COMPORTEMENT QUASI-STATIONNAIRE
3
d’où ˆ
g n,i (s) converge vers ˆ
g(s) quand n tend vers l’infini.
Ainsi, μ est la limite de Yaglom de la chaîne et satisfait (3.4.23).
Prouvons maintenant que ˆ
g est l’unique solution de (3.4.24). Supposons qu’il existe deux
fonctions génératrices ˆ
g et ˆ
h satisfaisant (3.4.24). Par r currence, nous pouvons montrer
que pour tout n ≥ 1 et s ∈ [0, 1],
ˆ
g(g n (s)) = m
n ˆ
g(s) − (m
n−1 + · · · + m + 1)(m − 1),
ˆ
h(g n (s)) = m
n ˆ
h(s) − (m
n−1 + · · · + m + 1)(m − 1).
Nous en déduisons que
ˆ
g
(g n (s)) g
n (s) = m
n ˆ
g
(s) ; ˆ
h
(g n (s)) g
n (s) = m
n ˆ
h
(s).
Puisque dans le cas sous-critique, la suite (g n (0)) tend en croissant vers 1, il existera pour
tout s ∈ [0, 1], un entier k tel que
g k (0) ≤ s ≤ g k+1 (0).
Ainsi nous avons
ˆ
g
(s)
ˆ
h (s)
=
ˆ
g
(g n (s))
ˆ
h (g n (s))
≤
ˆ
g
(g n+k+1 (0))
ˆ
g (g n+k (0))
=
ˆ
g
(0)
ˆ
h (0)
m g
n+k (0)
g
n+k+1 (0)
=
ˆ
g
(0)
ˆ
h (0)
m
g (g n+k (0))
.
Quand n tend vers l’infini, nous en déduisons que pour tout s ∈ [0, 1],
ˆ
g (s)
ˆ
h (s)
≤
ˆ
g (0)
ˆ
h (0)
.
Nous pouvons établir l’inégalité inverse de manière similaire et en déduire l’égalité des
deux expressions. Comme de plus, puisque ˆ
g et ˆ
h sont deux fonctions génératrices de
probabilités sur N
∗ , nous savons
ˆ(0) = ˆ h(0) = 0 et ˆ(1) =
g
ˆ h(1) = 1. Nous en déduisons
finalement l’égalité des deux fonctions.
(iii) Nous allons maintenant conclure la preuve du théorème en montrant qu’il existe une
infinité de distributions quasi-stationnaires pour le processus de BGW sous-critique.
Soit a ∈]0, 1[ une constante et définissons μ a , la probabilité sur N
∗ de fonction génératrice
g
μa (s) = 1 − (1 − s)
a . Nous avons
E μa
s
Xn | X n > 0
= 1 −
1 − g
μa
◦ g n (s)
1 − g μa ◦ g n (0)
= 1 −
1 − g n (s)
1 − g n (0)
a
.
Si nous notons par ν a la probabilité de fonction génératrice g
νa (s) = 1 − (1 − ˆ
g(s))
a , nous
en déduisons alors que
lim
n→∞
E μa (f (X n ) | X n > 0) = ν a (f ),
pour toute fonction f bornée sur N
∗ . Par une preuve similaire à celle de la Proposition
3.4.4, nous en déduisons que ν a est une distribution quasi-stationnaire du processus. Remarquons que ν = ν 1 . Ainsi la famille (ν a ) a∈]0,1] est une collection infinie de distributions
quasi-stationnaires pour le processus (X n ) n .
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é
g
que
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d’où ˆ
g n,i (s) converge vers ˆ
g(s) quand n tend vers l’infini.
Ainsi, μ est la limite de Yaglom de la chaîne et satisfait (3.4.23).
Prouvons maintenant que ˆ
g est l’unique solution de (3.4.24). Supposons qu’il existe deux
fonctions génératrices ˆ
g et ˆ
h satisfaisant (3.4.24). Par r currence, nous pouvons montrer
que pour tout n ≥ 1 et s ∈ [0, 1],
ˆ
g(g n (s)) = m
n ˆ
g(s) − (m
n−1 + · · · + m + 1)(m − 1),
ˆ
h(g n (s)) = m
n ˆ
h(s) − (m
n−1 + · · · + m + 1)(m − 1).
Nous en déduisons que
ˆ
g
(g n (s)) g
n (s) = m
n ˆ
g
(s) ; ˆ
h
(g n (s)) g
n (s) = m
n ˆ
h
(s).
Puisque dans le cas sous-critique, la suite (g n (0)) tend en croissant vers 1, il existera pour
tout s ∈ [0, 1], un entier k tel que
g k (0) ≤ s ≤ g k+1 (0).
Ainsi nous avons
ˆ
g
(s)
ˆ
h (s)
=
ˆ
g
(g n (s))
ˆ
h (g n (s))
≤
ˆ
g
(g n+k+1 (0))
ˆ
g (g n+k (0))
=
ˆ
g
(0)
ˆ
h (0)
m g
n+k (0)
g
n+k+1 (0)
=
ˆ
g
(0)
ˆ
h (0)
m
g (g n+k (0))
.
Quand n tend vers l’infini, nous en déduisons que pour tout s ∈ [0, 1],
ˆ
g (s)
ˆ
h (s)
≤
ˆ
g (0)
ˆ
h (0)
.
Nous pouvons établir l’inégalité inverse de manière similaire et en déduire l’égalité des
deux expressions. Comme de plus, puisque ˆ
g et ˆ
h sont deux fonctions génératrices de
probabilités sur N
∗ , nous savons
ˆ(0) = ˆ h(0) = 0 et ˆ(1) =
g
ˆ h(1) = 1. Nous en déduisons
finalement l’égalité des deux fonctions.
(iii) Nous allons maintenant conclure la preuve du théorème en montrant qu’il existe une
infinité de distributions quasi-stationnaires pour le processus de BGW sous-critique.
Soit a ∈]0, 1[ une constante et définissons μ a , la probabilité sur N
∗ de fonction génératrice
g
μa (s) = 1 − (1 − s)
a . Nous avons
E μa
s
Xn | X n > 0
= 1 −
1 − g
μa
◦ g n (s)
1 − g μa ◦ g n (0)
= 1 −
1 − g n (s)
1 − g n (0)
a
.
Si nous notons par ν a la probabilité de fonction génératrice g
νa (s) = 1 − (1 − ˆ
g(s))
a , nous
en déduisons alors que
lim
n→∞
E μa (f (X n ) | X n > 0) = ν a (f ),
pour toute fonction f bornée sur N
∗ . Par une preuve similaire à celle de la Proposition
3.4.4, nous en déduisons que ν a est une distribution quasi-stationnaire du processus. Remarquons que ν = ν 1 . Ainsi la famille (ν a ) a∈]0,1] est une collection infinie de distributions
quasi-stationnaires pour le processus (X n ) n .
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é
g
que