CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Or, les fonctions génératrices sont convexes et donc leur taux d’accroissement est croissant.
Ainsi, la fonction u →
1−g(u)
1−u
est croissante, et nous en déduisons que
1 − g n+1 (s)
1 − g n (s)
≥
1 − g n+1 (0)
1 − g n (0)
et
1 − g n+1 (s)
1 − g n+1 (0)
≥
1 − g n (s)
1 − g n (0)
.
Ainsi, la suite
1−gn(s)
1−gn(0)
n
est croissante et majorée par 1, car g n (s) ≥ g n (0). La suite
(ˆ g n (s)) n est donc décroissante et minorée par 0 et converge vers ˆ
g(s) ∈ [0, 1]. La fonction
ˆ
g est alors la fonction génératrice d’une mesure finie de masse inférieure ou égale à 1. Si
nous montrons que ˆ
g est continue en 1, nous pourrons alors conclure par un théorème de
Paul Lévy que ˆ
g est la fonction génératrice d’une probabilité μ qui ne charge pas 0 (Voir
Métivier [58] p.183).
Pour cela, nous montrons tout d’abord que ˆ
g est solution d’une équation fonctionnelle.
Nous avons
1 − ˆ
g(s) = lim
n
1 − g n+1 (s)
1 − g n+1 (0)
= lim
n
1 − g n+1 (s)
1 − g n (0)
1 − g n (0)
1 − g n+1 (0)
.
Mais
lim
n→∞
1 − g n (0)
1 − g n+1 (0)
= lim
u→1
1 − u
1 − g(u)
=
1
m
,
car m = g
(1). De plus,
lim
n
1 − g n (g(s))
1 − g n (0)
= 1 − ˆ
g(g(s)),
par définition de ˆ
g. Nous obtenons alors que 1 − ˆ
g(g(s)) = m(1 − ˆ
g(s)) et ˆ
g est solution
de (3.4.24). Quand s tend vers 1, le passage à la limite dans l’équation (3.4.24) entraîne
la continuité de ˆ
g en 1.
A priori, la fonction ˆ
g dépend du point de départ de la chaîne. Montrons qu’il n’en est
rien. Supposons qu’il y ait initialement i individus. Alors, de même que précédemment,
nous avons
ˆ
g n,i (s) = E i (s
Xn | X n > 0) =
E i (s
Xn ) − P i (X n = 0)
1 − P i (X n = 0)
=
(E 1 (s
Xn ))
i
− (P 1 (X n = 0))
i
1 − (P 1 (X n = 0)) i
.
Comme le processus (X n ) n est sous-critique, les quantités E 1 (s
Xn ) et P 1 (X n = 0) tendent
vers 1 quand n tend vers l’infini. Nous en déduisons que
E i (s
Xn ) = 1 + i (E 1 (s
Xn ) − 1) + o(E 1 (s
Xn ) − 1),
P i (X n = 0) = 1 − i P 1 (X n > 0) + o(P 1 (X n > 0)).
Par suite,
E i (s
Xn | X n > 0) ∼ n→∞
E 1 (s
Xn ) − 1 + P 1 (X n > 0)
1 − 1 + P 1 (X n > 0)
=
E 1 (s
Xn ) − P 1 (X n = 0)
1 − P 1 (X n = 0)
,
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Or, les fonctions génératrices sont convexes et donc leur taux d’accroissement est croissant.
Ainsi, la fonction u →
1−g(u)
1−u
est croissante, et nous en déduisons que
1 − g n+1 (s)
1 − g n (s)
≥
1 − g n+1 (0)
1 − g n (0)
et
1 − g n+1 (s)
1 − g n+1 (0)
≥
1 − g n (s)
1 − g n (0)
.
Ainsi, la suite
1−gn(s)
1−gn(0)
n
est croissante et majorée par 1, car g n (s) ≥ g n (0). La suite
(ˆ g n (s)) n est donc décroissante et minorée par 0 et converge vers ˆ
g(s) ∈ [0, 1]. La fonction
ˆ
g est alors la fonction génératrice d’une mesure finie de masse inférieure ou égale à 1. Si
nous montrons que ˆ
g est continue en 1, nous pourrons alors conclure par un théorème de
Paul Lévy que ˆ
g est la fonction génératrice d’une probabilité μ qui ne charge pas 0 (Voir
Métivier [58] p.183).
Pour cela, nous montrons tout d’abord que ˆ
g est solution d’une équation fonctionnelle.
Nous avons
1 − ˆ
g(s) = lim
n
1 − g n+1 (s)
1 − g n+1 (0)
= lim
n
1 − g n+1 (s)
1 − g n (0)
1 − g n (0)
1 − g n+1 (0)
.
Mais
lim
n→∞
1 − g n (0)
1 − g n+1 (0)
= lim
u→1
1 − u
1 − g(u)
=
1
m
,
car m = g
(1). De plus,
lim
n
1 − g n (g(s))
1 − g n (0)
= 1 − ˆ
g(g(s)),
par définition de ˆ
g. Nous obtenons alors que 1 − ˆ
g(g(s)) = m(1 − ˆ
g(s)) et ˆ
g est solution
de (3.4.24). Quand s tend vers 1, le passage à la limite dans l’équation (3.4.24) entraîne
la continuité de ˆ
g en 1.
A priori, la fonction ˆ
g dépend du point de départ de la chaîne. Montrons qu’il n’en est
rien. Supposons qu’il y ait initialement i individus. Alors, de même que précédemment,
nous avons
ˆ
g n,i (s) = E i (s
Xn | X n > 0) =
E i (s
Xn ) − P i (X n = 0)
1 − P i (X n = 0)
=
(E 1 (s
Xn ))
i
− (P 1 (X n = 0))
i
1 − (P 1 (X n = 0)) i
.
Comme le processus (X n ) n est sous-critique, les quantités E 1 (s
Xn ) et P 1 (X n = 0) tendent
vers 1 quand n tend vers l’infini. Nous en déduisons que
E i (s
Xn ) = 1 + i (E 1 (s
Xn ) − 1) + o(E 1 (s
Xn ) − 1),
P i (X n = 0) = 1 − i P 1 (X n > 0) + o(P 1 (X n > 0)).
Par suite,
E i (s
Xn | X n > 0) ∼ n→∞
E 1 (s
Xn ) − 1 + P 1 (X n > 0)
1 − 1 + P 1 (X n > 0)
=
E 1 (s
Xn ) − P 1 (X n = 0)
1 − P 1 (X n = 0)
,
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