3.4. COMPORTEMENT QUASI-STATIONNAIRE
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3.4.2 Distributions quasi-stationnaires pour une chaîne de BGW
Etudions les distributions quasi-stationnaires d’un processus de BGW et l’existence d’une
limite de Yaglom.
Théorème 3.4.8 Soit (X n ) n une chaîne de BGW et m la moyenne de sa loi de reproduction.
(i) Il n’y a pas de distribution quasi-stationnaire si la chaine est critique ou surcritique.
(ii) Si la chaine est sous-critique , Il existe une limite de Yaglom μ = (μ j ) j≥1 sur N
∗ , telle
que ∀i, j ≥ 1,
lim
n→∞
P i (X n = j | X n > 0) = μ j .
(3.4.23)
De plus, la fonction génératrice ˆ
g de μ est l’unique solution de l’équation : pour tout
s ∈ [0, 1],
1 − ˆ
g(g(s)) = m(1 − ˆ
g(s)).
(3.4.24)
(iii) Il y a une infinité de distributions quasi-stationnaires pour une chaine de BGW
sous-critique.
Preuve. La preuve est adaptée de Athreya et Ney [5] p. 13-14 et de Seneta et Vere-Jones
[67]. Elle va utiliser principalement les fonctions génératrices, dont nous avons vu qu’elles
étaient un outil particulièrement adapté, dès lors que l’on a la propriété de branchement.
(i) Dans les cas critique et surcritique, nous avons E 1 (T 0 ) = +∞, ce qui implique que
E ν (T 0 ) = +∞ pour toute probabilité ν sur N
∗ . Cela contredit donc l’existence d’une
distribution quasi-stationnaire, par la Proposition 3.4.7.
(ii) Notons comme précédemment par g n la fonction génératrice de (X n ) n . Pour chaque
n ∈ N
∗ , nous introduisons la fonction génératrice conditionnelle définie pour s ∈ [0, 1] par
ˆ
g n (s) = E 1 (s
Xn | X n > 0) =
E 1 (s
Xn
Xn>0 )
P 1 (X n > 0)
=
E 1 (s
Xn ) − P 1 (X n = 0)
1 − P 1 (X n = 0)
=
g n (s) − g n (0)
1 − g n (0)
= 1 −
1 − g n (s)
1 − g n (0)
∈ [0, 1].
(3.4.25)
Remarquons que par définition, cette loi conditionnelle ne charge pas le point 0.
Montrons que pour s fixé, la suite n →
1−gn(s)
1−gn(0)
est croissante. Nous écrivons
1 − g n+1 (s)
1 − g n+1 (0)
=
1 − g n+1 (s)
1 − g n (s)
1 − g n (s)
1 − g n (0)
1 − g n (0)
1 − g n+1 (0)
.
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