CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Par la Définition 3.4.3, nous savons que
Pi(X k+n ∈A;T0>k+n)
Pi(T0>k+n)
converge vers μ(A) quand n
tend vers l’infini et que
Pi(T0>k+n)
Pi(T0>n)
converge vers P μ (T 0 > k). Nous en déduisons que pour
tout ensemble A de N
∗ et pour tout k ≥ 1,
μ(A) = P μ (X k ∈ A | T 0 > k).
Ainsi, la probabilité μ est une distribution quasi-stationnaire pour le processus.
Proposition 3.4.6 Soit ν une probabilité quasi-stationnaire sur N
∗ . Alors il existe un
nombre réel ρ(ν) ∈ (0, 1) tel que
P ν (T 0 > n) = ρ(ν)
n .
(3.4.21)
Ainsi, si le processus est issu d’une distribution quasi-stationnaire, son temps d’extinction
suit une loi géométrique de paramètre ρ(ν).
Preuve. Par la propriété de Markov, nous avons
P ν (T 0 > n + k) = E ν
P Xn (T 0 > k) T0>n
= P ν (T 0 > n) E ν (P Xn (T 0 > k) | T 0 > n).
Par la Définition 3.4.1 , nous avons
E ν (P Xn (T 0 > k) | T 0 > n) = P ν (T 0 > k).
Ainsi, pour tous n, k,
P ν (T 0 > n + k) = P ν (T 0 > n) P ν (T 0 > k).
Un raisonnement élémentaire invoquant (3.4.20) permet de conclure.
Proposition 3.4.7 Soit ν une probabilité quasi-stationnaire sur N
∗ .
Alors pour tout 0 < γ < − log ρ(ν),
E ν (e
γT0 ) < +∞.
(3.4.22)
En particulier, il existe i ∈ N
∗ , tel que E i (e
γT0 ) < +∞.
Cette proposition suggère que si, avec probabilité positive, la population peut s’éteindre
après un temps extrêmement long, alors le processus n’aura pas de distribution quasistationnaire. Cela sera le cas pour un processus de BGW critique. (Voir Théorème 3.4.8
ci-dessous).
Preuve. Puisque sous ν, T 0 suit une loi géométrique de paramètre ρ(ν), le moment
exponentiel E ν (e
γT0 ) sera fini si γ < − log ρ(ν), comme nous le voyons dans le calcul
ci-dessous :
E ν (e
γT0 ) =
n≥1
e
γn (ρ(ν))
n (1 − ρ(ν)) =
e
γ (1 − ρ(ν))
1 − e γ ρ(ν)
.
Puisque E ν (e
γT0 ) =
훀
i≥1 ν i E i (e
γT0 ), nous en déduisons la dernière assertion.
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