3.4. COMPORTEMENT QUASI-STATIONNAIRE
Définition 3.4.1 Une probabilité ν sur N
∗ est une probabilité ou distribution quasistationnaire pour le processus X si elle vérifie que pour tout j ≥ 1 et pour tout n,
P ν (X n = j | T 0 > n) = ν j .
Remarque 3.4.2 Remarquons que l’événement conditionnant {T 0 > n} = {X n = 0}
a une probabilité qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini puisque T 0 est fini presquesûrement. On conditionne donc par un événement de plus en plus rare, quand n augmente.
Définition 3.4.3 Le processus de Markov (X n ) n admet la limite de Yaglom μ si μ est
une probabilité sur N
∗ telle que pour tout j ≥ 1 et pour tout i ≥ 1,
lim
n→∞
P i (X n = j | T 0 > n) = μ j .
Proposition 3.4.4 Une limite de Yaglom pour le processus est une distribution quasistationnaire.
Remarque 3.4.5 Remarquons que quand elle existe, la limite de Yaglom est unique. Il
n’en n’est pas de même pour les distributions quasi-stationnaires comme nous le verrons
au paragraphe suivant. Ainsi certaines distributions quasi-stationnaires ne sont pas des
limites de Yaglom.
Preuve. Soit μ la limit de Yaglom d’une chaîne de Markov (X n ) n à valeurs entières.
C’est donc une probabilité sur N
∗ . Nous voulons montrer que c’est une distribution quasistationnaire. Considérons une fonction f , définie et bornée sur N
∗ . Nous avons par définition et pour tout i ≥ 1,
μ(f ) = lim
n→∞
P i (f (X n ) | T 0 > n) = lim
n→∞
P i (f (X n ) ; T 0 > n)
P i (T 0 > n)
.
Appliquons cette propriété à la fonction f (l) = P l (T 0 > k), où k ≥ 1. Nous en déduisons
par la propriété de Markov
P μ (T 0 > k) = lim
n→∞
P i (T 0 > k + n)
P i (T 0 > n)
.
Si maintenant nous considérons la fonction f (l) = P l (X k ∈ A; T 0 > k), où A est une
partie de N
∗ et si nous appliquons de nouveau la propriété de Markov, nous obtenons
P μ (X k ∈ A; T 0 > k) = lim
n→∞
P i (X k+n ∈ A; T 0 > k + n)
P i (T 0 > n)
= lim
n→∞
P i (X k+n ∈ A; T 0 > k + n)
P i (T 0 > k + n)
P i (T 0 > k + n)
P i (T 0 > n)
.
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