CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
3.4 Comportement quasi-stationnaire
Revenons ici au cas d’un processus de branchement monotype. Nous avons vu que dans les
cas sous-critique ou critique, le processus de BGW (X n ) n s’éteint presque-sûrement. Mais
le temps nécessaire à l’extinction peut être très long (par exemple dans le cas critique) et
dans une échelle de temps qui n’est pas l’échelle de temps humaine. On peut alors dans
certains cas observer une apparente stationnarité de la population, alors que celle-ci est
en voie d’extinction. Ainsi, une étude faite sur des serpents à sonnettes en Arizona (cf.
Renault, Ferrière, Porter, non publié), montre que la moyenne du nombre de descendants
vaut m = 0, 91. Le processus est donc très nettement sous-critique. L’étude expérimentale
montre toutefois qu’après une phase de décroissance violente de la population, celle-ci
semble s’être stabilisée.
Notre but dans ce paragraphe est de donner un sens mathématique à cette stabilité avant
extinction. Par analogie avec la recherche d’une probabilité invariante (ou stationnaire),
la question peut être posée sous l’une des formes suivantes :
1 - Existe-t-il une probabilité sur N
∗ qui laisse invariante la loi conditionnelle de X n
sachant que la population n’est pas éteinte au temps n ? Une telle probabilité, si elle
existe, sera appelée probabilité (ou distribution) quasi-stationnaire.
2 - La limite de la loi conditionnelle de X n sachant que la population n’est pas éteinte au
temps n,
lim
n→∞
Loi(X n |X n > 0),
existe-telle ?
Nous allons introduire les notions de distribution quasi-stationnaire et de limite de Yaglom
(du nom du mathématicien qui introduisit cette notion pour des processus de branchement [73]) pour une chaîne de Markov absorbée en 0 et en donner quelques propriétés
fondamentales. Nous étudierons ensuite plus précisément le cas des processus de BGW.
La notion de quasi-stationarité est très riche et pour une étude plus approfondie de ses
propriétés, nous renvoyons à Collet-Martinez-San Martin [23] ou à Méléard-Villemonais
[57].
3.4.1 Distribution quasi-stationnaire et limite de Yaglom
Soit (X n ) n une chaîne de Markov sur N absorbée en 0. Nous supposons de plus qu’elle
atteint 0 presque-sûrement. Notons comme précédemment par T 0 le temps d’atteinte de
0. Ainsi,
P(T 0 < +∞) = 1.
(3.4.20)
Pour toute probabilité ν = (ν j ) j≥1 sur N
∗ , nous noterons P ν =
j≥1 ν j P j .
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3.4 Comportement quasi-stationnaire
Revenons ici au cas d’un processus de branchement monotype. Nous avons vu que dans les
cas sous-critique ou critique, le processus de BGW (X n ) n s’éteint presque-sûrement. Mais
le temps nécessaire à l’extinction peut être très long (par exemple dans le cas critique) et
dans une échelle de temps qui n’est pas l’échelle de temps humaine. On peut alors dans
certains cas observer une apparente stationnarité de la population, alors que celle-ci est
en voie d’extinction. Ainsi, une étude faite sur des serpents à sonnettes en Arizona (cf.
Renault, Ferrière, Porter, non publié), montre que la moyenne du nombre de descendants
vaut m = 0, 91. Le processus est donc très nettement sous-critique. L’étude expérimentale
montre toutefois qu’après une phase de décroissance violente de la population, celle-ci
semble s’être stabilisée.
Notre but dans ce paragraphe est de donner un sens mathématique à cette stabilité avant
extinction. Par analogie avec la recherche d’une probabilité invariante (ou stationnaire),
la question peut être posée sous l’une des formes suivantes :
1 - Existe-t-il une probabilité sur N
∗ qui laisse invariante la loi conditionnelle de X n
sachant que la population n’est pas éteinte au temps n ? Une telle probabilité, si elle
existe, sera appelée probabilité (ou distribution) quasi-stationnaire.
2 - La limite de la loi conditionnelle de X n sachant que la population n’est pas éteinte au
temps n,
lim
n→∞
Loi(X n |X n > 0),
existe-telle ?
Nous allons introduire les notions de distribution quasi-stationnaire et de limite de Yaglom
(du nom du mathématicien qui introduisit cette notion pour des processus de branchement [73]) pour une chaîne de Markov absorbée en 0 et en donner quelques propriétés
fondamentales. Nous étudierons ensuite plus précisément le cas des processus de BGW.
La notion de quasi-stationarité est très riche et pour une étude plus approfondie de ses
propriétés, nous renvoyons à Collet-Martinez-San Martin [23] ou à Méléard-Villemonais
[57].
3.4.1 Distribution quasi-stationnaire et limite de Yaglom
Soit (X n ) n une chaîne de Markov sur N absorbée en 0. Nous supposons de plus qu’elle
atteint 0 presque-sûrement. Notons comme précédemment par T 0 le temps d’atteinte de
0. Ainsi,
P(T 0 < +∞) = 1.
(3.4.20)
Pour toute probabilité ν = (ν j ) j≥1 sur N
∗ , nous noterons P ν =
j≥1 ν j P j .
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