3.3 Relation entre processus de Bienaymé-Galton-Watson
et modèle de généalogie.
Etudions le comportement d’un processus de BGW conditionné à rester de taille constante
N . Nous allons voir que dans ce cas, si la loi de reproduction du BGW est une loi de
Poisson, la loi conditionnelle est liée au modèle de Wright-Fisher, que nous étudierons en
détail dans le Chapitre 6.
Théorème 3.3.1 Soit N un entier non nul. Considérons un processus X de GaltonWatson, dont la loi de reproduction est une loi de Poisson de paramètre m et supposons
que X 0 = N . Alors, conditionnellement au fait que X garde la même valeur N , ( X n =
N , pour tout n), la répartition des descendants (Y 1 , · · · , Y N ) de chaque individu de la
génération précédente suit une loi multinomiale de paramètres (N,
1
N
, · · · ,
1
N
).
Preuve. Soit D i le nombre de descendants de l’individu i dans le modèle de BGW conditionné à rester de taille constante N . Soit (k 1 , · · · , k N ), un N -uplet d’entiers de somme
N . On a alors
P N (D 1 = k 1 , · · · , D N = k N ) = P N (Y 1 = k 1 , · · · , Y N = k N |X 1 = N )
=
N
i=1 P(Y i = k i )
P N (X 1 = N )
,
où les variables aléatoires Y i , désignant le nombre de descendants de l’individu i dans
le modèle de BGW, sont indépendantes. Appelons comme précédemment g la fonction
génératrice de la loi de reproduction, qui est supposée être une loi de Poisson de paramètre
m. On a pour tout s ∈ [0, 1]
g(s) = exp(−m(1 − s)),
et la fonction génératrice de X 1 sous P N est g(s)
N = exp(−Nm(1 − s)). La loi de X 1 sous
P N est donc une loi de Poisson de paramètre mN . Nous en déduisons que
P(D 1 = k 1 , · · · , D N = k N ) =
N !
e −mN (Nm) N
N
i=1
e
−m m
ki
k i !
=
N !
k 1 ! · · · k N !
1
N
N
.
Nous reconnaissons ici la loi multinomiale de paramètres (N,
1
N
, · · · ,
1
N
).
LATION ENTRE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON ...
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