CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Exemple : Application à l’extinction des baleines noires en Atlantique du Nord (Cf. Caswell
et al. [15] et Haccou-Jagers-Vatutin [37])
Nous nous intéressons à la loi de reproduction des baleines femelles. L’unité de temps est
un an. La probabilité de mourir est β ∈ [0, 1] et la probabilité d’avoir un petit femelle
(en un an) est α ∈ [0, 1]. La loi de reproduction est donc donnée par q 0 = β , q 1 =
(1 − β)(1 − α) , q 2 = α(1 − β). En 1994, des estimations donnent q 0 = 0, 06 et α = 0, 038.
Alors m = q 1 + 2q 2 = (1 − β)(1 + α) = 0, 976 < 1, et le processus de Galton-Watson est
sous-critique, avec σ
2 = q 1 + 4q 2 = 0, 095. D’autre part des études statistiques estiment à
150 le nombre de baleines en 1994.
Cherchons pendant combien d’années l’on peut être certain qu’avec 99% de chances, il
n’y aura pas extinction. On fait le calcul en appliquant la Proposition 3.2.11.
P(X n > 0 |X 0 = 150) ≥ 0, 99 dès que i(1 − m)
m
n + 1
σ 2 ≥ 0, 99
⇐⇒
n ≤ 150.
Ainsi, avec 99% de chances et si il n’y a pas de changement environnemental, les baleines
survivront jusqu’en 2144.
Cherchons maintenant dans combien d’années les baleines auront 99% de chances d’avoir
disparu.
P(X n = 0 |X 0 = 150) ≥ 0, 99 dès que i m
n ≤ 0, 01
⇐⇒
n ≥ 395.
Ainsi, nous pouvons assurer avec 99% de chances que si il n’y a pas de changement
environnemental, les baleines auront disparu en 2389.
Le Corollaire 3.2.13 appliqué à m = 0, 976 et i = 150 donne que E i (T 0 ) 206.
Remarque 3.2.15 Bien-sûr, le modèle de branchement est très approximatif pour décrire
le comportement de la population de baleines et ces calculs donnent seulement un ordre de grandeur
du temps d’extinction. De plus, quand la population devient de petite taille, les processus de reproduction entraînent plus facilement l’accumulation de mutations délétères qui
accroissent la mauvaise adaptation des baleines au milieu et pourront entraîner une accélération de leur extinction. On appelle cette accélération "le vortex d’extinction". Des
recherches sont développées actuellement pour modéliser cette spirale d’extinction. Voir
par exemple [26].
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Exemple : Application à l’extinction des baleines noires en Atlantique du Nord (Cf. Caswell
et al. [15] et Haccou-Jagers-Vatutin [37])
Nous nous intéressons à la loi de reproduction des baleines femelles. L’unité de temps est
un an. La probabilité de mourir est β ∈ [0, 1] et la probabilité d’avoir un petit femelle
(en un an) est α ∈ [0, 1]. La loi de reproduction est donc donnée par q 0 = β , q 1 =
(1 − β)(1 − α) , q 2 = α(1 − β). En 1994, des estimations donnent q 0 = 0, 06 et α = 0, 038.
Alors m = q 1 + 2q 2 = (1 − β)(1 + α) = 0, 976 < 1, et le processus de Galton-Watson est
sous-critique, avec σ
2 = q 1 + 4q 2 = 0, 095. D’autre part des études statistiques estiment à
150 le nombre de baleines en 1994.
Cherchons pendant combien d’années l’on peut être certain qu’avec 99% de chances, il
n’y aura pas extinction. On fait le calcul en appliquant la Proposition 3.2.11.
P(X n > 0 |X 0 = 150) ≥ 0, 99 dès que i(1 − m)
m
n + 1
σ 2 ≥ 0, 99
⇐⇒
n ≤ 150.
Ainsi, avec 99% de chances et si il n’y a pas de changement environnemental, les baleines
survivront jusqu’en 2144.
Cherchons maintenant dans combien d’années les baleines auront 99% de chances d’avoir
disparu.
P(X n = 0 |X 0 = 150) ≥ 0, 99 dès que i m
n ≤ 0, 01
⇐⇒
n ≥ 395.
Ainsi, nous pouvons assurer avec 99% de chances que si il n’y a pas de changement
environnemental, les baleines auront disparu en 2389.
Le Corollaire 3.2.13 appliqué à m = 0, 976 et i = 150 donne que E i (T 0 ) 206.
Remarque 3.2.15 Bien-sûr, le modèle de branchement est très approximatif pour décrire
le comportement de la population de baleines et ces calculs donnent seulement un ordre de grandeur
du temps d’extinction. De plus, quand la population devient de petite taille, les processus de reproduction entraînent plus facilement l’accumulation de mutations délétères qui
accroissent la mauvaise adaptation des baleines au milieu et pourront entraîner une accélération de leur extinction. On appelle cette accélération "le vortex d’extinction". Des
recherches sont développées actuellement pour modéliser cette spirale d’extinction. Voir
par exemple [26].
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