3.2. LE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
Preuve. Introduisons φ(i) =
et ψ(i) =
. Nous avons
E i (T 0 ) =
n
P i (T 0 > n)
=
[φ(i)]
n=0
P i (T 0 > n) +
∞
n=[φ(i)]+1
P i (T 0 > n)
≤ φ(i) + 1 + i
∞
n=[φ(i)]+1
m
n
≤ φ(i) + 1 + i
m
φ(i)
1 − m
, car m < 1,
≤
+
2 − m
1 − m
,
car
i m
[φ(i)] ≤ i e
−
ln m = 1.
Nous obtenons ainsi l’inégalité de droite de la Proposition 3.2.12.
Pour l’inégalité de gauche, remarquons tout d’abord que
e
−c1i m φ(i)−ψ(i) = e
−c1m −ψ(i) = e
−c1e −ψ(i) m = e
−c1
i = e
c1
1
i =
1
i c1 .
Nous en déduisons que pour φ(i) − ψ(i) assez grand,
P i (T 0 ≤ φ(i) − ψ(i)) = (1 − P 1 (T 0 > φ(i) − ψ(i)))
i
≤ e
−iP1(T0>φ(i)−ψ(i)) ≤ e
−ic1m φ(i)−ψ(i) =
1
i c1 ,
car (1 − x)
k
≤ e
−kx et par la Proposition 3.2.11 2).
Ainsi, si n ≤ φ(i) − ψ(i), nous avons
P i (T 0 > n) ≥ P i (T 0 > φ(i) − ψ(i))
≥ 1 − P i (T 0 ≤ φ(i) − ψ(i))
≥ 1 −
1
i c1 ,
d’où
E i (T 0 ) ≥
[φ(i)−ψ(i)]
n=0
P i (T 0 > n) ≥
1 −
1
i c1
([φ(i) − ψ(i)] + 1)
≥
1 −
1
i c1
.
55
|
m|
i
|
m|
|
m|
i
|
m|
i
−
i
|
m|
i
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log log
i
log
log