CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Remarquons que
P i (X n > 0) = 1 − P i (X n = 0) = 1 − (P 1 (X n = 0))
i
= 1 − (1 − P 1 (X n > 0))
i .
Nous utilisons alors le fait que ∀k ∈ N, x ∈ [0, 1],
1 − (1 − x)
k ≥ kx −
k(k − 1)
2
x
2 ,
dû au fait que kx − (1 − (1 − x)
k ) = k(k − 1)
x
0
du
u
0
(1 − y)
k−2 dy. Nous avons alors
P i (X n > 0) ≥ i P 1 (X n > 0)
1 −
i − 1
2
P 1 (X n > 0)
,
d’où la première assertion de la proposition.
2) Quand n est grand, le terme prépondérant dans le terme de gauche de l’inégalité (3.2.18)
vaut
1−m
σ 2 m
n+1 , ce qui donne la deuxième assertion .
Il est intéressant d’un point de vue écologique d’étudier le temps moyen d’extinction
d’une population sous-critique en fonction de la taille de la population initiale. Le résultat
suivant va répondre à cette question pour une population sous-critique initialement très
grande.
Proposition 3.2.12 Considérons un processus de Galton-Watson (X n ) n sous critique
(m < 1) et tel que X 0 = i. Supposons de plus que m 2 < +∞ et posons c 1 =
(1−m)m
σ 2
.
Soit T 0 le temps d’atteinte de 0 du processus (X n ) n .
Alors, pour i suffisamment grand,
−
1 −
1
i c1
≤ E i (T 0 ) ≤
+
2 − m
1 − m
.
Corollaire 3.2.13 Dans les mêmes conditions que ci-dessus, nous avons
E i (T 0 ) ∼ i→∞
.
(3.2.19)
Remarque 3.2.14 Ce corollaire a des conséquences écologiques importantes : même si au
temps 0, la population est extrêmement grande, elle va s’éteindre rapidement si le nombre
moyen d’enfants par individu est inférieur à 1. En effet,
est négligeable devant i quand
i → +∞.
54
i
i
|
m|
|
m|
i
log
log log
log
i
log
log
log
|
m|
i
log
log
Remarquons que
P i (X n > 0) = 1 − P i (X n = 0) = 1 − (P 1 (X n = 0))
i
= 1 − (1 − P 1 (X n > 0))
i .
Nous utilisons alors le fait que ∀k ∈ N, x ∈ [0, 1],
1 − (1 − x)
k ≥ kx −
k(k − 1)
2
x
2 ,
dû au fait que kx − (1 − (1 − x)
k ) = k(k − 1)
x
0
du
u
0
(1 − y)
k−2 dy. Nous avons alors
P i (X n > 0) ≥ i P 1 (X n > 0)
1 −
i − 1
2
P 1 (X n > 0)
,
d’où la première assertion de la proposition.
2) Quand n est grand, le terme prépondérant dans le terme de gauche de l’inégalité (3.2.18)
vaut
1−m
σ 2 m
n+1 , ce qui donne la deuxième assertion .
Il est intéressant d’un point de vue écologique d’étudier le temps moyen d’extinction
d’une population sous-critique en fonction de la taille de la population initiale. Le résultat
suivant va répondre à cette question pour une population sous-critique initialement très
grande.
Proposition 3.2.12 Considérons un processus de Galton-Watson (X n ) n sous critique
(m < 1) et tel que X 0 = i. Supposons de plus que m 2 < +∞ et posons c 1 =
(1−m)m
σ 2
.
Soit T 0 le temps d’atteinte de 0 du processus (X n ) n .
Alors, pour i suffisamment grand,
−
1 −
1
i c1
≤ E i (T 0 ) ≤
+
2 − m
1 − m
.
Corollaire 3.2.13 Dans les mêmes conditions que ci-dessus, nous avons
E i (T 0 ) ∼ i→∞
.
(3.2.19)
Remarque 3.2.14 Ce corollaire a des conséquences écologiques importantes : même si au
temps 0, la population est extrêmement grande, elle va s’éteindre rapidement si le nombre
moyen d’enfants par individu est inférieur à 1. En effet,
est négligeable devant i quand
i → +∞.
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i
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m|
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m|
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log
log log
log
i
log
log
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i
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