3.2. LE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
3.2.4 Cas sous-critique : Analyse fine de l’extinction
Nous nous plaçons ici dans le cas m < 1 et nous souhaitons étudier finement les propriétés
du temps d’extinction en fonction de la condition initiale. Supposons que m 2 < +∞ et
notons comme précédemment σ
2 = V ar(Y ).
Proposition 3.2.11 1) Pour tout i, n ∈ N
∗ ,
i(1 − m) m
n+1
σ 2 (1 − m n ) + m n+1 (1 − m)
1 −
(i − 1)m
n
2
≤ P i (X n > 0) ≤ i m
n , (3.2.18)
ce qui donne un encadrement précis de P i (X n > 0)/m
n .
2) Si n est suffisamment grand, nous avons
i
1 − m
σ 2 m
n+1 ≤ P i (X n > 0) ≤ i m
n .
Preuve. 1) Nous avons déjà vu précédemment que
P i (X n > 0) ≤ i P 1 (X n > 0) ≤ i E 1 (X n ) = i m
n ,
ce qui prouve l’inégalité de droite.
Pour l’inégalité de gauche, étudions tout d’abord le cas où il y a un seul ancêtre. Remarquons que σ
2 = m 2 − m
2 . Nous avons
(E 1 (X n Xn>0 ))
2 ≤ E 1 (X
2
n ) P 1 (X n > 0),
d’où
P 1 (X n > 0) ≥
E 1 (X n )
2
E 1 (X 2
n )
=
m
2n
E 1 (X 2
n )
.
Or, comme nous l’avons montré précédemment en (3.2.16),
E 1 (X
2
n |F n−1 ) = m 2 X n−1 + m
2 X n−1 (X n−1 − 1).
D’où
E 1 (X
2
n ) = (m 2 − m
2 )E 1 (X n−1 ) + m
2 E 1 ((X n−1 )
2 )
= σ
2 m
n−1 + m
2 E 1 ((X n−1 )
2 )
= σ
2
m
n−1 + m
n + . . . + m
2(n−1)
+ m
2n E 1 ((X 0 )
2 )
= σ
2 m
n−1 1 − m
n
1 − m
+ m
2n .
Prouvons maintenant le cas général d’une condition initiale i ∈ N
∗ .
53