TABLE DES MATIÈRES
3.2.4 Cas sous-critique : Analyse fine de l’extinction . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Relation entre processus de Bienaymé-Galton-Watson et modèle de généalogie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Comportement quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Distribution quasi-stationnaire et limite de Yaglom . . . . . . . . . 58
3.4.2 Distributions quasi-stationnaires pour une chaîne de BGW . . . . . 61
3.5 Extension 1 : Les chaînes densité-dépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Extension 2 : Chaîne de BGW avec immigration . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 Extension 3 : le processus de BGW multitype . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Mouvement brownien et processus de diffusion
81
4.1 Convergence fini-dimensionnelle de marches aléatoires renormalisées . . . . 82
4.2 Processus aléatoire et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Quelques propriétés du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Propriété de Markov et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Martingales à temps continu et temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.1 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.2 Inégalités fondamentales et comportement à l’infini . . . . . . . . .
4.5.3 Le théorème d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.4 Applications au mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 Intégrales stochastiques et EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6.1 Intégrales stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6.2 Equations différentielles stochastiques (EDS) . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.3 Système différentiel stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.4 Propriété de Markov d’une solution d’EDS . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.5 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6.6 Générateur - Lien avec les équations aux dérivées partielles . . . . . 125
4.6.7 Applications aux temps d’atteinte de barrières . . . . . . . . . . . . 128
4.7 Equations différentielles stochastiques pour l’étude des populations . . . . 130
4.7.1 Equation de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.7.2 Equation de Feller logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7.3 Processus de Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.7.4 Autres exemples de déplacements spatiaux . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7.5 Processus de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
x
69
99
3.2.4 Cas sous-critique : Analyse fine de l’extinction . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Relation entre processus de Bienaymé-Galton-Watson et modèle de généalogie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Comportement quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Distribution quasi-stationnaire et limite de Yaglom . . . . . . . . . 58
3.4.2 Distributions quasi-stationnaires pour une chaîne de BGW . . . . . 61
3.5 Extension 1 : Les chaînes densité-dépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Extension 2 : Chaîne de BGW avec immigration . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 Extension 3 : le processus de BGW multitype . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Mouvement brownien et processus de diffusion
81
4.1 Convergence fini-dimensionnelle de marches aléatoires renormalisées . . . . 82
4.2 Processus aléatoire et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Quelques propriétés du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Propriété de Markov et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Martingales à temps continu et temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.1 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.2 Inégalités fondamentales et comportement à l’infini . . . . . . . . .
4.5.3 Le théorème d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.4 Applications au mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 Intégrales stochastiques et EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6.1 Intégrales stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6.2 Equations différentielles stochastiques (EDS) . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.3 Système différentiel stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.4 Propriété de Markov d’une solution d’EDS . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.5 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6.6 Générateur - Lien avec les équations aux dérivées partielles . . . . . 125
4.6.7 Applications aux temps d’atteinte de barrières . . . . . . . . . . . . 128
4.7 Equations différentielles stochastiques pour l’étude des populations . . . . 130
4.7.1 Equation de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.7.2 Equation de Feller logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7.3 Processus de Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.7.4 Autres exemples de déplacements spatiaux . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7.5 Processus de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
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