TABLE DES MATIÈRES
5 Processus de population en temps continu
143
5.1 Processus markovien de saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 Un prototype : le processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.1 Définition d’un processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.2 Propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.3 Comportement asymptotique d’un processus de Poisson . . . . . . 153
5.2.4 Processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Générateur d’un processus markovien de saut . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.1 Le générateur infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.2 Chaîne de Markov incluse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.4 Processus de branchement en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.1 Définition et propriété de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.2 Equation pour la fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.4.3 Critère de non-explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4.4 Equation de moments - Probabilité et temps d’extinction . . . . . . 167
5.4.5 Le cas binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4.6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5 Processus de naissance et mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.5.1 Définition et critère de non-explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.5.2 Equations de Kolmogorov et mesure invariante . . . . . . . . . . . . 175
5.5.3 Critère d’extinction - Temps d’extinction . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.6 Approximations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6.1 Approximations déterministes - Equations malthusienne et logistique181
5.6.2 Approximation stochastique - Stochasticité démographique, Equation de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.6.3 Les modèles de proie-prédateur, système de Lotka-Volterra . . . . . 188
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6 Processus d’évolution génétique
203
6.1 Un modèle idéalisé de population infinie : le modèle de Hardy-Weinberg . . 203
6.2 Population finie : le modèle de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.1 Processus de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.2 Distribution quasi-stationnaire pour un processus de Wright-Fisher 211
6.2.3 Processus de Wright-Fisher avec mutation . . . . . . . . . . . . . . 213
6.2.4 Processus de Wright-Fisher avec sélection . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.3 Modèles démographiques de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
xi
5 Processus de population en temps continu
143
5.1 Processus markovien de saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 Un prototype : le processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.1 Définition d’un processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.2 Propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.3 Comportement asymptotique d’un processus de Poisson . . . . . . 153
5.2.4 Processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Générateur d’un processus markovien de saut . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.1 Le générateur infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.2 Chaîne de Markov incluse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.4 Processus de branchement en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.1 Définition et propriété de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.2 Equation pour la fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.4.3 Critère de non-explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4.4 Equation de moments - Probabilité et temps d’extinction . . . . . . 167
5.4.5 Le cas binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4.6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5 Processus de naissance et mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.5.1 Définition et critère de non-explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.5.2 Equations de Kolmogorov et mesure invariante . . . . . . . . . . . . 175
5.5.3 Critère d’extinction - Temps d’extinction . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.6 Approximations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6.1 Approximations déterministes - Equations malthusienne et logistique181
5.6.2 Approximation stochastique - Stochasticité démographique, Equation de Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.6.3 Les modèles de proie-prédateur, système de Lotka-Volterra . . . . . 188
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6 Processus d’évolution génétique
203
6.1 Un modèle idéalisé de population infinie : le modèle de Hardy-Weinberg . . 203
6.2 Population finie : le modèle de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.1 Processus de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.2 Distribution quasi-stationnaire pour un processus de Wright-Fisher 211
6.2.3 Processus de Wright-Fisher avec mutation . . . . . . . . . . . . . . 213
6.2.4 Processus de Wright-Fisher avec sélection . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.3 Modèles démographiques de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
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