Table des matières
1 Introduction
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1.1 Introduction du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Importance de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Modélisation mathématique en écologie et évolution . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Ecologie et évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Dispersion et colonisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Génétique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.5 Quelques termes de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Populations spatiales et temps discret
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2.1 Marches aléatoires et chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Etude des temps de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Temps d’arrêt et propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Loi du premier temps de retour en 0 d’une marche aléatoire simple
2.3 Récurrence et transience - Théorèmes ergodiques . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Marches aléatoires absorbées ou réfléchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Barrières absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Barrières réfléchissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Martingales à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Dynamique de population en temps discret
3.1 Chaînes de Markov de vie et de mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le processus de Bienaymé-Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Le comportement à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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