3.2. LE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
plus délicate mais l’idée intuitive suivante peut se justifier mathématiquement. En effet
dans ce cas, la loi de branchement charge plus les grandes valeurs entières. L’espérance
du temps d’extinction va donc être supérieure à celle du cas où m 2 est fini et nous aurons
encore E i (T 0 ) = +∞.
3) Il reste à étudier le comportement asymptotique de X n quand m > 1.
Lorsque m > 1, l’extinction n’est pas certaine puisque P(A) = s 0 < 1. Rappelons que
l’état 0 est absorbant et que les autres états sont transients. Donc deux cas seulement
sont possibles : ou bien X n = 0 à partir d’un certain rang (c’est l’extinction), ou bien
X n → +∞ (c’est l’explosion). Ces deux événements complémentaires ont pour probabilités respectives (s 0 )
i et 1 − (s 0 )
i . Cela conclut la preuve du théorème.
La formule (3.2.14) donne en fait la fonction de répartition du temps d’extinction T 0 , et
donc sa loi, sous P 1 et sous P i . On a :
P 1 (T 0 = n) =
0
si
n = 0
g n (0) − g n−1 (0) si
n ∈ N
∗
1 − s 0
si n = +∞.
(3.2.15)
Remarquons que dans le cas surcritique, T 0 est une variable aléatoire à valeurs dans N ∪
{+∞}.
Remarque 3.2.9 Nous avons montré que, dans le cas où la population initiale est composée de i individus, nous nous trouvons dans l’un des 3 cas suivants.
• Lorsque m < 1, la probabilité de " non-extinction à l’instant n " tend vers 0 à une
vitesse géométrique puisque, comme on l’a vu,
P i (X n = 0) ≤ m
n i.
• Lorsque m = 1, cette même probabilité tend beaucoup plus lentement vers zéro. Plus
précisément, a vu que si m 2 < +∞,
P i (X n = 0) ∼
2i
n(m 2 − 1)
lorsque n → ∞.
• Lorsque m > 1, X n tend vers 0 ou vers +∞.
Dans le cas surcritique, il est intéressant de préciser à quelle vitesse X n tend vers l’infini,
sur l’ensemble {T 0 = +∞}, qui est donc de probabilité strictement positive 1−(s 0 )
i . Nous
nous limitons au cas où m 2 < +∞. Dans la suite, nous noterons σ
2 la variance de Y .
Théorème 3.2.10 Si m > 1 et m 2 < +∞, la suite
X n
m n converge P i -presque-sûrement
vers une variable aléatoire U qui est presque-sûrement strictement positive sur l’ensemble
{T 0 = +∞} et telle que E i (U ) = i.
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plus délicate mais l’idée intuitive suivante peut se justifier mathématiquement. En effet
dans ce cas, la loi de branchement charge plus les grandes valeurs entières. L’espérance
du temps d’extinction va donc être supérieure à celle du cas où m 2 est fini et nous aurons
encore E i (T 0 ) = +∞.
3) Il reste à étudier le comportement asymptotique de X n quand m > 1.
Lorsque m > 1, l’extinction n’est pas certaine puisque P(A) = s 0 < 1. Rappelons que
l’état 0 est absorbant et que les autres états sont transients. Donc deux cas seulement
sont possibles : ou bien X n = 0 à partir d’un certain rang (c’est l’extinction), ou bien
X n → +∞ (c’est l’explosion). Ces deux événements complémentaires ont pour probabilités respectives (s 0 )
i et 1 − (s 0 )
i . Cela conclut la preuve du théorème.
La formule (3.2.14) donne en fait la fonction de répartition du temps d’extinction T 0 , et
donc sa loi, sous P 1 et sous P i . On a :
P 1 (T 0 = n) =
0
si
n = 0
g n (0) − g n−1 (0) si
n ∈ N
∗
1 − s 0
si n = +∞.
(3.2.15)
Remarquons que dans le cas surcritique, T 0 est une variable aléatoire à valeurs dans N ∪
{+∞}.
Remarque 3.2.9 Nous avons montré que, dans le cas où la population initiale est composée de i individus, nous nous trouvons dans l’un des 3 cas suivants.
• Lorsque m < 1, la probabilité de " non-extinction à l’instant n " tend vers 0 à une
vitesse géométrique puisque, comme on l’a vu,
P i (X n = 0) ≤ m
n i.
• Lorsque m = 1, cette même probabilité tend beaucoup plus lentement vers zéro. Plus
précisément, a vu que si m 2 < +∞,
P i (X n = 0) ∼
2i
n(m 2 − 1)
lorsque n → ∞.
• Lorsque m > 1, X n tend vers 0 ou vers +∞.
Dans le cas surcritique, il est intéressant de préciser à quelle vitesse X n tend vers l’infini,
sur l’ensemble {T 0 = +∞}, qui est donc de probabilité strictement positive 1−(s 0 )
i . Nous
nous limitons au cas où m 2 < +∞. Dans la suite, nous noterons σ
2 la variance de Y .
Théorème 3.2.10 Si m > 1 et m 2 < +∞, la suite
X n
m n converge P i -presque-sûrement
vers une variable aléatoire U qui est presque-sûrement strictement positive sur l’ensemble
{T 0 = +∞} et telle que E i (U ) = i.
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