CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Théorème 3.2.8
1) Dans les cas sous-critique et critique (lorsque m ≤ 1), la probabilité d’extinction vaut
p i = P i (T 0 < +∞) = 1. La population s’éteint presque sûrement.
2) Dans le cas sous-critique, le temps moyen d’extinction E i (T 0 ) est fini, tandis que dans
le cas critique, E i (T 0 ) = +∞.
3) Dans le cas surcritique (m > 1), la suite X n converge presque-sûrement sous P i vers
une limite X ∞ qui ne prend que les valeurs 0 et +∞ avec les probabilités
p i = P i (T 0 < +∞) = P i (X ∞ = 0) = (s 0 )
i
, P i (X ∞ = +∞) = 1 − (s 0 )
i ,
où s 0 ∈]0, 1[ a été défini en (3.2.8).
Preuve. Remarquons que X n+1 = 0 dès que X n = 0 ; ainsi les événements {X n = 0}
croissent avec n. L’événement A =“ Extinction de la population ” est donc naturellement
défini comme réunion croissante de ces ensembles,
A = {T 0 < +∞} = ∪ n {X n = 0}
(3.2.13)
et sa probabilité est donnée par
P(A) = lim
n
G n (0) .
La démonstration du théorème repose donc sur l’étude de la suite (G n (0)) n , avec G n (0) =
(g n (0))
i . Nous utilisons le Lemme 3.2.4.
1) Puisque {T 0 ≤ n} = {X n = 0}, la probabilité
P i (T 0 ≤ n) = P 1 (T 0 ≤ n)
i = (g n (0))
i
(3.2.14)
converge vers s
i
0 quand n tend vers l’infini. Cela entraîne que P i (T 0 < +∞) = 1 si m ≤ 1
d’où la première partie du théorème. De plus, P i (T 0 < +∞) = (s 0 )
i quand m > 1.
2) Rappelons que
E i (T 0 ) =
n≥0
P i (T 0 > n) =
n≥0
(1 − g n (0)
i ).
Le Lemme 3.2.5 entraîne immédiatement que si m < 1, alors E 1 (T 0 ) < +∞, puisque
dans ce cas, la série de terme général m
n est convergente. De plus, nous avons vu que
le temps d’extinction de X n sachant que X 0 = i est le maximum des temps d’extinction
des sous-populations issues de chaque individu de la population initiale. Ainsi, pour tout
i ∈ N
∗ , E i (T 0 ) < +∞.
Si m = 1 et m 2 < +∞, alors par la deuxième partie du Lemme 3.2.5, nous savons que
E 1 (T 0 ) = +∞ (la série harmonique diverge), ce qui entraîne alors que E i (T 0 ) = +∞ pour
tout i ≥ 1. L’assertion (2) du théorème est donc montrée. Si m 2 = +∞, la preuve est
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Théorème 3.2.8
1) Dans les cas sous-critique et critique (lorsque m ≤ 1), la probabilité d’extinction vaut
p i = P i (T 0 < +∞) = 1. La population s’éteint presque sûrement.
2) Dans le cas sous-critique, le temps moyen d’extinction E i (T 0 ) est fini, tandis que dans
le cas critique, E i (T 0 ) = +∞.
3) Dans le cas surcritique (m > 1), la suite X n converge presque-sûrement sous P i vers
une limite X ∞ qui ne prend que les valeurs 0 et +∞ avec les probabilités
p i = P i (T 0 < +∞) = P i (X ∞ = 0) = (s 0 )
i
, P i (X ∞ = +∞) = 1 − (s 0 )
i ,
où s 0 ∈]0, 1[ a été défini en (3.2.8).
Preuve. Remarquons que X n+1 = 0 dès que X n = 0 ; ainsi les événements {X n = 0}
croissent avec n. L’événement A =“ Extinction de la population ” est donc naturellement
défini comme réunion croissante de ces ensembles,
A = {T 0 < +∞} = ∪ n {X n = 0}
(3.2.13)
et sa probabilité est donnée par
P(A) = lim
n
G n (0) .
La démonstration du théorème repose donc sur l’étude de la suite (G n (0)) n , avec G n (0) =
(g n (0))
i . Nous utilisons le Lemme 3.2.4.
1) Puisque {T 0 ≤ n} = {X n = 0}, la probabilité
P i (T 0 ≤ n) = P 1 (T 0 ≤ n)
i = (g n (0))
i
(3.2.14)
converge vers s
i
0 quand n tend vers l’infini. Cela entraîne que P i (T 0 < +∞) = 1 si m ≤ 1
d’où la première partie du théorème. De plus, P i (T 0 < +∞) = (s 0 )
i quand m > 1.
2) Rappelons que
E i (T 0 ) =
n≥0
P i (T 0 > n) =
n≥0
(1 − g n (0)
i ).
Le Lemme 3.2.5 entraîne immédiatement que si m < 1, alors E 1 (T 0 ) < +∞, puisque
dans ce cas, la série de terme général m
n est convergente. De plus, nous avons vu que
le temps d’extinction de X n sachant que X 0 = i est le maximum des temps d’extinction
des sous-populations issues de chaque individu de la population initiale. Ainsi, pour tout
i ∈ N
∗ , E i (T 0 ) < +∞.
Si m = 1 et m 2 < +∞, alors par la deuxième partie du Lemme 3.2.5, nous savons que
E 1 (T 0 ) = +∞ (la série harmonique diverge), ce qui entraîne alors que E i (T 0 ) = +∞ pour
tout i ≥ 1. L’assertion (2) du théorème est donc montrée. Si m 2 = +∞, la preuve est
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