3.2. LE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
Pour s ∈ [0, 1[ fixé, et quand j → ∞, on sait que g j (s) → 1 donc (g j (s)) → 0. Cela
entraîne que
Δn(s)
n
→ 0 quand n tend vers l’infini, comme limite de Césaro de la suite
((g n (s))) n . Ainsi, quand n tend vers l’infini,
1 − g n (s) =
1
na
1
1 +
1
na(1−s)
+
Δn(s)
na
∼
n→+∞
1
na
=
2
n(m 2 − 1)
.
Nous avons donc montré 2).
Proposition 3.2.6 Soit G n la fonction génératrice de X n . Alors ∀ n ≥ 0,
G n+1 (s) = G n (g(s)) .
(3.2.9)
En particulier, si X 0 = i, nous en déduisons que
G n (s) = (g n (s))
i
(3.2.10)
E i (X n ) = E(X n |X 0 = i) = m
n i.
(3.2.11)
Preuve. L’indépendance de X n et des (Y n,k , n ≥ 1, k ≥ 1) entraîne que
G n+1 (s) =
k
E(s
k
i=1 Yn,i 1 {Xn=k} ) =
k
(g(s))
k P(X n = k) = G n (g(s)).
(3.2.10) en découle facilement, puis en dérivant cette expression et en faisant tendre s vers
1, nous obtenons (3.2.11).
Ce résultat va nous permettre d’étudier le comportement asymptotique de la suite (X n ) n≥0
et de calculer notamment la probabilité d’extinction de la population.
Remarque 3.2.7 L’inégalité (3.2.11) entraîne que la population s’éteint lorsque m =
E(Y ) < 1. En effet, il est facile de voir que pour tout i ≥ 1,
P i (X n = 0) ≤ E i (X n ) = m
n i .
(3.2.12)
Nous allons maintenant énoncer un résultat plus complet. L’étude suivante va nous amener
à distinguer 3 cas :
• Le cas sous-critique, quand m < 1,
• Le cas critique, quand m = 1,
• Le cas surcritique, quand m > 1.
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