CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Figure 3.2 – La fonction g et ses itérées dans les deux cas m ≤ 1 et m > 1.
Lemme 3.2.5
1) Pour tout s ∈ [0, 1[, 1 − g n (s) ≤ m
n (1 − s).
2) Si m = 1 et m 2 < +∞, alors pour tout s ∈ [0, 1[, la suite 1 − g n (s) est équivalente à
2
n(m2−1)
quand n → ∞.
Preuve. L’inégalité 1 − g(s) ≤ m(1 − s) est évidente, puisque g
est croissante sur [0, 1]
et que g
(1) = m. En itérant cette inégalité, nous obtenons immédiatement l’assertion 1).
Posons a =
m2−1
2
> 0 (car m = 1). Un développement limité de g au voisinage de s = 1
montre que pour tout s ∈ [0, 1[,
1 − g(s) = (1 − s)(1 − (1 − s)(a + γ(s))), où lim
s→1
γ(s) = 0,
puisque g
(1) = 1 et g
(1) = m 2 − 1 = 2a. Par suite,
1
1 − g(s)
=
1
1 − s
+ a + (s), où lim
s→1
(s) = 0.
Nous en déduisons que
1
1 − g j+1 (s)
=
1
1 − g j (s)
+ a + (g j (s))
et en réitérant ces égalités pour j = n − 1, · · · , 2, 1, nous obtenons finalement que
1
1 − g n (s)
=
1
1 − s
+ na + Δ n (s), où Δ n (s) =
n−1
j=0
(g j (s)).
48