3.2. LE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
Considérons également la fonction génératrice g de Q définie pour s ∈ [0, 1] par
g(s) =
∞
k=0
q k s
k = E(s
Y ),
(3.2.7)
où Y ∈ N est une variable aléatoire de loi Q (le nombre d’enfants d’un individu). Cette
fonction, croissante sur [0, 1], va jouer un rôle important pour l’étude du processus. Par
dérivation sous l’espérance et en utilisant le théorème de convergence dominée, il est facile
de montrer que g est convexe. De plus, elle est de classe C
∞ sur [0, 1[ et est une fois (resp.
deux fois) dérivable à gauche en s = 1 si et seulement si m < +∞ (resp. m 2 < +∞), et
dans ce cas,
m = g
(1) ; m 2 − m = g
(1).
Pour n ≥ 1, notons par g n la n-ième itérée de g, c’est à dire g ◦ g ◦ · · · ◦ g, n fois. Ainsi
g n+1 = g ◦ g n = g n ◦ g. Etendons la définition par g 0 (s) = s. Enfin, définissons
s 0 = inf{s ∈ [0, 1], g(s) = s}.
(3.2.8)
Remarquons que s 0 > 0 car q 0 > 0 et s 0 ≤ 1 car g(1) = 1.
L’étude du comportement asymptotique de la suite (g n ) n se ramène à un argument de
suite récurrente, développée dans le lemme suivant.
Lemme 3.2.4
a) Si g
(1) ≤ 1, alors s 0 = 1 et g n (s) croît vers 1 lorsque n tend vers l’infini, pour tout
s ∈ [0, 1].
b) Si g
(1) > 1, l’équation g(v) = v possède une solution unique s 0 dans ]0, 1[ et g n (s)
croît vers s 0 , (respectivement décroît vers s 0 ), lorsque n tend vers l’infini, pour tout
s ∈ [0, s 0 ], (respectivement tout s ∈ [s 0 , 1[).
Preuve. Nous nous reportons à la Figure 3.2 pour cette preuve. L’application s → g(s)
de l’intervalle [0, 1] dans lui-même est croissante et strictement convexe. De plus g(1) = 1.
Comme nous avons exclu le cas g(s) ≡ s, la courbe g ne coupe pas ou au contraire coupe
la diagonale du carré [0, 1]
2 en un point distinct de (1, 1), selon que g
(1) ≤ 1 ou que
g
(1) > 1. Ainsi, selon les cas, l’équation de point fixe g(v) = v n’a pas de solution ou
possède une unique solution dans ]0, 1[, c’est à dire que soit s 0 = 1, soit s 0 < 1.
a) Lorsque g
(1) ≤ 1, nous avons s ≤ g(s) et donc g n (s) ≤ g n+1 (s) (puisque g n+1 = g ◦ g n )
pour tout s. La limite lim n g n (s) est inférieure à 1 et solution de g(u) = u. Elle ne peut
alors valoir que 1.
b) De même, si g
(1) > 1, nous avons s ≤ g(s) ≤ s 0 ou s ≥ g(s) ≥ s 0 selon que s ≤ s 0
ou que s ≥ s 0 ; il s’en suit que g n (s) croît (resp. décroît) avec n selon le cas. La limite
lim n g n (s), qui est solution de g(u) = u et strictement inférieure à 1 pour s = 1, est alors
nécessairement égale à s 0 .
Nous avons également les propriétés suivantes.
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Considérons également la fonction génératrice g de Q définie pour s ∈ [0, 1] par
g(s) =
∞
k=0
q k s
k = E(s
Y ),
(3.2.7)
où Y ∈ N est une variable aléatoire de loi Q (le nombre d’enfants d’un individu). Cette
fonction, croissante sur [0, 1], va jouer un rôle important pour l’étude du processus. Par
dérivation sous l’espérance et en utilisant le théorème de convergence dominée, il est facile
de montrer que g est convexe. De plus, elle est de classe C
∞ sur [0, 1[ et est une fois (resp.
deux fois) dérivable à gauche en s = 1 si et seulement si m < +∞ (resp. m 2 < +∞), et
dans ce cas,
m = g
(1) ; m 2 − m = g
(1).
Pour n ≥ 1, notons par g n la n-ième itérée de g, c’est à dire g ◦ g ◦ · · · ◦ g, n fois. Ainsi
g n+1 = g ◦ g n = g n ◦ g. Etendons la définition par g 0 (s) = s. Enfin, définissons
s 0 = inf{s ∈ [0, 1], g(s) = s}.
(3.2.8)
Remarquons que s 0 > 0 car q 0 > 0 et s 0 ≤ 1 car g(1) = 1.
L’étude du comportement asymptotique de la suite (g n ) n se ramène à un argument de
suite récurrente, développée dans le lemme suivant.
Lemme 3.2.4
a) Si g
(1) ≤ 1, alors s 0 = 1 et g n (s) croît vers 1 lorsque n tend vers l’infini, pour tout
s ∈ [0, 1].
b) Si g
(1) > 1, l’équation g(v) = v possède une solution unique s 0 dans ]0, 1[ et g n (s)
croît vers s 0 , (respectivement décroît vers s 0 ), lorsque n tend vers l’infini, pour tout
s ∈ [0, s 0 ], (respectivement tout s ∈ [s 0 , 1[).
Preuve. Nous nous reportons à la Figure 3.2 pour cette preuve. L’application s → g(s)
de l’intervalle [0, 1] dans lui-même est croissante et strictement convexe. De plus g(1) = 1.
Comme nous avons exclu le cas g(s) ≡ s, la courbe g ne coupe pas ou au contraire coupe
la diagonale du carré [0, 1]
2 en un point distinct de (1, 1), selon que g
(1) ≤ 1 ou que
g
(1) > 1. Ainsi, selon les cas, l’équation de point fixe g(v) = v n’a pas de solution ou
possède une unique solution dans ]0, 1[, c’est à dire que soit s 0 = 1, soit s 0 < 1.
a) Lorsque g
(1) ≤ 1, nous avons s ≤ g(s) et donc g n (s) ≤ g n+1 (s) (puisque g n+1 = g ◦ g n )
pour tout s. La limite lim n g n (s) est inférieure à 1 et solution de g(u) = u. Elle ne peut
alors valoir que 1.
b) De même, si g
(1) > 1, nous avons s ≤ g(s) ≤ s 0 ou s ≥ g(s) ≥ s 0 selon que s ≤ s 0
ou que s ≥ s 0 ; il s’en suit que g n (s) croît (resp. décroît) avec n selon le cas. La limite
lim n g n (s), qui est solution de g(u) = u et strictement inférieure à 1 pour s = 1, est alors
nécessairement égale à s 0 .
Nous avons également les propriétés suivantes.
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