CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Pour le prouver, il suffit de remarquer que le temps d’extinction de Z
1
n + · · · + Z
i
n est le
maximum des temps d’extinction des Z
j
n , 1 ≤ j ≤ i, qui sont indépendants les uns des
autres.
Certaines lois de reproduction entraînent des comportements asymptotiques triviaux :
• Si q 1 = 1, on a X n = X 0 et l’effectif de la population ne varie pas.
• Si q 1 < 1 et si q 0 + q 1 = 1, on a X n+1 ≤ X n . L’effectif de la population décroît et
T 0 < +∞ P 1 -p.s.. Si q 0 = 1, T 0 = 1 P 1 -p.s. et si q 0 < 1, P 1 (T 0 = k) = q 0 q
k−1
1
. (T 0 suit
une loi géométrique).
• Si q 1 < 1 et q 0 = 0, alors X n+1 ≥ X n et l’effectif de la population croît. On a T 0 = +∞
P 1 -p.s.
Dans la suite nous éliminerons ces 3 cas en supposant que
q 0 > 0 , q 0 + q 1 < 1.
(3.2.5)
Proposition 3.2.3 L’état 0 est absorbant et sous (3.2.5), les autres états sont transients.
Si de plus d est le PGCD des i ≥ 1 tels que q i > 0, les classes sont la classe C = dN
∗ =
{nd, n ≥ 1}, et tous les singletons {i} avec i /
∈ C.
Preuve. D’après (3.2.3), si i ≥ 1, on a P i,0 ≥ (q 0 )
i > 0, donc i mène à 0, alors que 0 ne
mène pas à i ≥ 1 puisque 0 est absorbant. L’état i ne peut donc pas être récurrent. Les variables aléatoires Y n,k prennent presque-sûrement leurs valeurs dans l’ensemble {i, q i > 0},
qui est contenu dans C ∪ {0}, de sorte que pour tout n ≥ 1, X n appartient à C ∪ {0}
presque-sûrement. Par suite, un état i ne peut mener qu’à 0 et aux points de C et tout
singleton non contenu dans C est une classe.
Du point de vue des propriétés ergodiques ou de la stationnarité éventuelle de la chaîne
(X n ) n , tout est dit dans la proposition précédente : il y a une seule classe de récurrence
{0} et une seule probabilité invariante, la masse de Dirac en 0. La chaîne est stationnaire
si et seulement si elle part de 0 et elle reste alors toujours en 0. Sinon, du fait que tous les
états non nuls sont transients, la chaîne n’a que deux comportements possibles, soit elle
converge vers 0, soit elle converge vers +∞. Du point de vue des applications en revanche,
nous allons pouvoir répondre à un certain nombre de questions concernant le calcul des
probabilités d’extinction p i , la loi du temps d’extinction T 0 , la vitesse d’explosion si (X n ) n
tend vers l’infini, etc.
3.2.3 Le comportement à l’infini
Pour les chaînes BGW, nous allons pouvoir décrire le comportement presque-sûr de la
chaîne, quand n tend vers l’infini. Notons par m et m 2 les deux premiers moments de la
loi de reproduction Q (qui peuvent éventuellement être infinis).
m =
∞
k=0
kq k ; m 2 =
∞
k=0
k
2 q k .
(3.2.6)
46
Pour le prouver, il suffit de remarquer que le temps d’extinction de Z
1
n + · · · + Z
i
n est le
maximum des temps d’extinction des Z
j
n , 1 ≤ j ≤ i, qui sont indépendants les uns des
autres.
Certaines lois de reproduction entraînent des comportements asymptotiques triviaux :
• Si q 1 = 1, on a X n = X 0 et l’effectif de la population ne varie pas.
• Si q 1 < 1 et si q 0 + q 1 = 1, on a X n+1 ≤ X n . L’effectif de la population décroît et
T 0 < +∞ P 1 -p.s.. Si q 0 = 1, T 0 = 1 P 1 -p.s. et si q 0 < 1, P 1 (T 0 = k) = q 0 q
k−1
1
. (T 0 suit
une loi géométrique).
• Si q 1 < 1 et q 0 = 0, alors X n+1 ≥ X n et l’effectif de la population croît. On a T 0 = +∞
P 1 -p.s.
Dans la suite nous éliminerons ces 3 cas en supposant que
q 0 > 0 , q 0 + q 1 < 1.
(3.2.5)
Proposition 3.2.3 L’état 0 est absorbant et sous (3.2.5), les autres états sont transients.
Si de plus d est le PGCD des i ≥ 1 tels que q i > 0, les classes sont la classe C = dN
∗ =
{nd, n ≥ 1}, et tous les singletons {i} avec i /
∈ C.
Preuve. D’après (3.2.3), si i ≥ 1, on a P i,0 ≥ (q 0 )
i > 0, donc i mène à 0, alors que 0 ne
mène pas à i ≥ 1 puisque 0 est absorbant. L’état i ne peut donc pas être récurrent. Les variables aléatoires Y n,k prennent presque-sûrement leurs valeurs dans l’ensemble {i, q i > 0},
qui est contenu dans C ∪ {0}, de sorte que pour tout n ≥ 1, X n appartient à C ∪ {0}
presque-sûrement. Par suite, un état i ne peut mener qu’à 0 et aux points de C et tout
singleton non contenu dans C est une classe.
Du point de vue des propriétés ergodiques ou de la stationnarité éventuelle de la chaîne
(X n ) n , tout est dit dans la proposition précédente : il y a une seule classe de récurrence
{0} et une seule probabilité invariante, la masse de Dirac en 0. La chaîne est stationnaire
si et seulement si elle part de 0 et elle reste alors toujours en 0. Sinon, du fait que tous les
états non nuls sont transients, la chaîne n’a que deux comportements possibles, soit elle
converge vers 0, soit elle converge vers +∞. Du point de vue des applications en revanche,
nous allons pouvoir répondre à un certain nombre de questions concernant le calcul des
probabilités d’extinction p i , la loi du temps d’extinction T 0 , la vitesse d’explosion si (X n ) n
tend vers l’infini, etc.
3.2.3 Le comportement à l’infini
Pour les chaînes BGW, nous allons pouvoir décrire le comportement presque-sûr de la
chaîne, quand n tend vers l’infini. Notons par m et m 2 les deux premiers moments de la
loi de reproduction Q (qui peuvent éventuellement être infinis).
m =
∞
k=0
kq k ; m 2 =
∞
k=0
k
2 q k .
(3.2.6)
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