3.2. LE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
3.2.2 Résultats élémentaires
Une propriété immédiate, mais fondamentale, est que 0 est un état absorbant : si X n = 0,
alors X n+1 = 0. Le temps d’atteinte de 0, c’est à dire
T 0 = inf{n ≥ 0, X n = 0}
est appelé temps d’extinction et vérifie X n = 0 si et seulement si n ≥ T 0 . C’est un temps
d’arrêt pour la filtration (F n ) n où F n = σ(X k , k ≤ n).
Il est important, du point de vue biologique, de connaître la loi du temps d’extinction, et
en particulier la probabilité d’extinction partant d’un nombre i d’individus, pour i ≥ 1 :
p i = P i (T 0 < +∞).
Bien-sûr, p 0 = 1.
Proposition 3.2.1 Le processus de Galton-Watson (X n ) n possède la propriété de branchement : sa loi (en tant que processus) sous P i est la même que la loi de
(Z
1
n + · · · + Z
i
n ) n
où les ((Z
j
n ) n , 1 ≤ j ≤ i) sont des chaînes de Markov indépendantes entre elles et qui ont
toutes même loi que la chaîne (X n ) n sous P 1 .
La propriété de branchement pour une chaîne de Markov de type (3.1.1) est caractéristique
des chaînes BGW.
Remarque 3.2.2 La propriété de branchement permet de ramener l’étude de la loi P i
d’un processus de BGW issu de i individus à la loi P 1 d’un tel processus issu d’un seul
ancêtre.
Preuve. Par (3.2.3) et X 0 = i, nous pouvons écrire X n =
i
j=1 Z
j
n , où Z
j
n désigne
le nombre d’individus vivant à l’instant n, et descendant du j-ième individu initial. Par
hypothèse, les processus ((Z
j
n ) n , 1 ≤ j ≤ i) sont indépendants.
Réciproquement, la propriété de branchement pour une chaîne de Markov de type (3.1.1)
implique que la loi (P i,j , j ∈ N) est la puissance i-ième de convolution de la loi (P 1,j , j ∈ N).
En d’autres termes, on a (3.1.2) avec q
i
j = P 1,j et η
i
0 = 1. La chaîne est donc BGW.
Puisque la loi (P
(n)
i,j ) j∈N est la puissance i-ième de convolution de la loi (P
(n)
1,j ) j∈N , nous
pouvons calculer plus facilement certaines quantités associées à une population initiée par
i individus. Par exemple, la probabilité de s’éteindre avant le temps n vaut
P i (T 0 ≤ n) = P 1 (T 0 ≤ n)
i .
(3.2.4)
45
3.2.2 Résultats élémentaires
Une propriété immédiate, mais fondamentale, est que 0 est un état absorbant : si X n = 0,
alors X n+1 = 0. Le temps d’atteinte de 0, c’est à dire
T 0 = inf{n ≥ 0, X n = 0}
est appelé temps d’extinction et vérifie X n = 0 si et seulement si n ≥ T 0 . C’est un temps
d’arrêt pour la filtration (F n ) n où F n = σ(X k , k ≤ n).
Il est important, du point de vue biologique, de connaître la loi du temps d’extinction, et
en particulier la probabilité d’extinction partant d’un nombre i d’individus, pour i ≥ 1 :
p i = P i (T 0 < +∞).
Bien-sûr, p 0 = 1.
Proposition 3.2.1 Le processus de Galton-Watson (X n ) n possède la propriété de branchement : sa loi (en tant que processus) sous P i est la même que la loi de
(Z
1
n + · · · + Z
i
n ) n
où les ((Z
j
n ) n , 1 ≤ j ≤ i) sont des chaînes de Markov indépendantes entre elles et qui ont
toutes même loi que la chaîne (X n ) n sous P 1 .
La propriété de branchement pour une chaîne de Markov de type (3.1.1) est caractéristique
des chaînes BGW.
Remarque 3.2.2 La propriété de branchement permet de ramener l’étude de la loi P i
d’un processus de BGW issu de i individus à la loi P 1 d’un tel processus issu d’un seul
ancêtre.
Preuve. Par (3.2.3) et X 0 = i, nous pouvons écrire X n =
i
j=1 Z
j
n , où Z
j
n désigne
le nombre d’individus vivant à l’instant n, et descendant du j-ième individu initial. Par
hypothèse, les processus ((Z
j
n ) n , 1 ≤ j ≤ i) sont indépendants.
Réciproquement, la propriété de branchement pour une chaîne de Markov de type (3.1.1)
implique que la loi (P i,j , j ∈ N) est la puissance i-ième de convolution de la loi (P 1,j , j ∈ N).
En d’autres termes, on a (3.1.2) avec q
i
j = P 1,j et η
i
0 = 1. La chaîne est donc BGW.
Puisque la loi (P
(n)
i,j ) j∈N est la puissance i-ième de convolution de la loi (P
(n)
1,j ) j∈N , nous
pouvons calculer plus facilement certaines quantités associées à une population initiée par
i individus. Par exemple, la probabilité de s’éteindre avant le temps n vaut
P i (T 0 ≤ n) = P 1 (T 0 ≤ n)
i .
(3.2.4)
45