3.2. LE PROCESSUS DE BIENAYMÉ-GALTON-WATSON
la population (X n → +∞) ? Si (X n ) n tend vers l’infini, peut-on trouver une normalisation
convenable, une suite a n tendant vers 0, telle que a n X n converge ? Cela donnera un ordre
de grandeur de la taille de la population et de la vitesse de convergence. D’autres problèmes plus complexes peuvent se poser. Par exemple, que se passe-t-il lorsque l’on étudie
le comportement d’une population conditionnellement au fait qu’elle n’est pas éteinte à
l’instant n ? C’est l’objet de la quasi-stationnarité qui donne un sens mathématique à des
stabilités avant extinction de la population.
Nous n’allons pas pouvoir aborder ces problèmes dans toute leur généralité. Nous allons
tout d’abord les développer dans le cadre le plus simple du processus de Galton-Watson.
3.2 Le processus de Bienaymé-Galton-Watson
3.2.1 Définition
La chaîne de Markov de vie et de mort la plus simple est la chaîne de Galton-Watson
ou de Bienaymé-Galton-Watson que nous abrégerons en BGW. C’est une chaîne sans
immigration et densité-indépendante. La loi de reproduction est une probabilité sur N
indépendante de i,
Q = (q l , l ∈ N)
et la probabilité d’immigration η
i est la masse de Dirac en 0. Nous allons étudier la dynamique du nombre X n d’individus de cette population au cours des générations successives
n = 0, 1, 2, . . . en supposant que chacun des X n individus de la n-ième génération engendre
un nombre aléatoire Y n,k d’enfants (1 ≤ k ≤ X n ) de sorte que
X n+1 =
Xn
k=1
Y n,k
(n ≥ 0) .
(3.2.3)
Les variables aléatoires (Y n,k , n ≥ 0, k ≥ 1) sont supposées indépendantes entre elles et
de même loi Q, qui est la loi d’une variable générique Y . Cette loi est caractérisée par
sa fonction génératrice g(s) = E(s
Y ) =
k q k s
k pour tout s ∈ [0, 1]. Dans toute la suite,
nous excluons le cas où g(s) ≡ s.
La Figure 3.1 représente les individus des générations 0 à 3, lorsque X 0 = 1, Y 0,1 =
2, Y 1,1 = 3, Y 1,2 = 1, Y 2,1 = 2, Y 2,2 = 0, Y 2,3 = 1, Y 2,4 = 3. Cette figure est une
réalisation d’un arbre aléatoire. Dans des situations plus compliquées, il est possible de
structurer cet arbre en ajoutant une marque à chaque branche, comme par exemple le
type de l’individu incluant des mutations possibles de ce type, l’âge de l’individu ou
sa position dans l’espace. Sur cette figure, nous observons la dynamique de la population
dans le sens physique du temps (de gauche à droite). Si en revanche, nous la considérons
de droite à gauche, nous observons les lignes ancestrales des individus présents au temps
3. Ces deux aspects correspondent aussi aux Chapitres 5 et 6 de cet ouvrage.
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la population (X n → +∞) ? Si (X n ) n tend vers l’infini, peut-on trouver une normalisation
convenable, une suite a n tendant vers 0, telle que a n X n converge ? Cela donnera un ordre
de grandeur de la taille de la population et de la vitesse de convergence. D’autres problèmes plus complexes peuvent se poser. Par exemple, que se passe-t-il lorsque l’on étudie
le comportement d’une population conditionnellement au fait qu’elle n’est pas éteinte à
l’instant n ? C’est l’objet de la quasi-stationnarité qui donne un sens mathématique à des
stabilités avant extinction de la population.
Nous n’allons pas pouvoir aborder ces problèmes dans toute leur généralité. Nous allons
tout d’abord les développer dans le cadre le plus simple du processus de Galton-Watson.
3.2 Le processus de Bienaymé-Galton-Watson
3.2.1 Définition
La chaîne de Markov de vie et de mort la plus simple est la chaîne de Galton-Watson
ou de Bienaymé-Galton-Watson que nous abrégerons en BGW. C’est une chaîne sans
immigration et densité-indépendante. La loi de reproduction est une probabilité sur N
indépendante de i,
Q = (q l , l ∈ N)
et la probabilité d’immigration η
i est la masse de Dirac en 0. Nous allons étudier la dynamique du nombre X n d’individus de cette population au cours des générations successives
n = 0, 1, 2, . . . en supposant que chacun des X n individus de la n-ième génération engendre
un nombre aléatoire Y n,k d’enfants (1 ≤ k ≤ X n ) de sorte que
X n+1 =
Xn
k=1
Y n,k
(n ≥ 0) .
(3.2.3)
Les variables aléatoires (Y n,k , n ≥ 0, k ≥ 1) sont supposées indépendantes entre elles et
de même loi Q, qui est la loi d’une variable générique Y . Cette loi est caractérisée par
sa fonction génératrice g(s) = E(s
Y ) =
k q k s
k pour tout s ∈ [0, 1]. Dans toute la suite,
nous excluons le cas où g(s) ≡ s.
La Figure 3.1 représente les individus des générations 0 à 3, lorsque X 0 = 1, Y 0,1 =
2, Y 1,1 = 3, Y 1,2 = 1, Y 2,1 = 2, Y 2,2 = 0, Y 2,3 = 1, Y 2,4 = 3. Cette figure est une
réalisation d’un arbre aléatoire. Dans des situations plus compliquées, il est possible de
structurer cet arbre en ajoutant une marque à chaque branche, comme par exemple le
type de l’individu incluant des mutations possibles de ce type, l’âge de l’individu ou
sa position dans l’espace. Sur cette figure, nous observons la dynamique de la population
dans le sens physique du temps (de gauche à droite). Si en revanche, nous la considérons
de droite à gauche, nous observons les lignes ancestrales des individus présents au temps
3. Ces deux aspects correspondent aussi aux Chapitres 5 et 6 de cet ouvrage.
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