CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
individus de type 1 et i 2 individus de type 2, est la probabilité Q
i1,i2
1
= (Q
i1,i2
1,l ) l∈N , (resp.
Q
i1,i2
2
= (Q
i1,i2
2,l ) l∈N ). Dans ce modèle, les individus de type 1 engendrent des descendants
de type 1, mais la loi de reproduction dépend de la composition de la population en types
1 et 2. Cela peut être un exemple de modèle de proie-prédateur ou d’hôte-parasite.
Pour définir rigoureusement cette dynamique, nous considérons une suite de variables
aléatoires (Y
a
n,i1,i2,k ; n, i 1 , i 2 , k ∈ N, a = 1 ou 2) indépendantes entre elles et de loi Q
i1,i2
a
et
nous notons par X
(1)
0 et X
(2)
0 les effectifs initiaux respectivement de type 1 et de type 2.
On pose alors, pour a = 1 ou a = 2,
X
(a)
n+1 =
ia
k=1
Y
a
n,i1,i2,k
si X
(1)
n = i 1 , X
(2)
n = i 2 , pour tous i 1 , i 2 ∈ N.
Le processus (X
(1)
n , X
(2)
n ) est une chaîne de Markov à valeurs dans N
2 , de matrice de
transition
P (i1,i2),(j1,j2) = P(X
(1)
n+1 = j 1 , X
(2)
n+1 = j 2 |X
(1)
n = i 1 , X
(2)
n = i 2 )
=
k1+···+ki 1 =j1;r1+···+ri 2 =j2
i1
l=1
Q
i1,i2
1,k l
i2
m=1
Q
i1,i2
2,rm .
Exemple 3.1.4 Population isolée avec mutation. La situation est semblable à celle de
l’exemple 3.1.3, mais chaque descendant d’un individu de type 1 (resp. de type 2) peut
"muter" et donc devenir de type 2 (resp. de type 1) avec la probabilité α 1 (resp. α 2 ),
les mutations étant indépendantes de la reproduction. Ce modèle peut être utilisé en
épidémiologie pour représenter une population d’individus sains (de type 1) et infectés
(de type 2). La chaîne (X
(1)
n , X
(2)
n ) est encore markovienne, de matrice de transition donnée
par
P (i1,i2),(j1,j2) =
A(i1,i2,j1,j2)
i1
l=1
Q
i1,i2
1,k l
k l
k
l
α
k
l
1 (1 − α 1 )
k l −k
l
i2
m=1
Q
i1,i2
1,rm
r m
r
m
α
r
m
2 (1 − α 2 )
rm−r
m ,
où A(i 1 , i 2 , j 1 , j 2 ) est l’ensemble des familles d’entiers ((k l , k
l , r m , r
m ), l = 1, · · · , i 1 ; m =
1, · · · , i 2 ) telles que 0 ≤ k
l ≤ k l et 0 ≤ r
m ≤ r m , avec j 1 = (k 1 − k
1 ) + · · · + (k i1 −
k
i1 ) + r
1 + · · · + r
i2 et j 2 = k
1 + · · · + k
i1 + (r 1 − r
1 ) + · · · + (r i2 − r
i2 ) .
Les problèmes qui se posent naturellement pour ce type de modèles concernent le comportement de la chaîne (X n ) n quand n tend vers l’infini. Par exemple, y a-t-il extinction
de toute la population (X n → 0) ou d’une sous-population d’un type particulier, ou un
régime stationnaire apparaît-il (X n converge en un certain sens) ou a-t-on "explosion" de
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individus de type 1 et i 2 individus de type 2, est la probabilité Q
i1,i2
1
= (Q
i1,i2
1,l ) l∈N , (resp.
Q
i1,i2
2
= (Q
i1,i2
2,l ) l∈N ). Dans ce modèle, les individus de type 1 engendrent des descendants
de type 1, mais la loi de reproduction dépend de la composition de la population en types
1 et 2. Cela peut être un exemple de modèle de proie-prédateur ou d’hôte-parasite.
Pour définir rigoureusement cette dynamique, nous considérons une suite de variables
aléatoires (Y
a
n,i1,i2,k ; n, i 1 , i 2 , k ∈ N, a = 1 ou 2) indépendantes entre elles et de loi Q
i1,i2
a
et
nous notons par X
(1)
0 et X
(2)
0 les effectifs initiaux respectivement de type 1 et de type 2.
On pose alors, pour a = 1 ou a = 2,
X
(a)
n+1 =
ia
k=1
Y
a
n,i1,i2,k
si X
(1)
n = i 1 , X
(2)
n = i 2 , pour tous i 1 , i 2 ∈ N.
Le processus (X
(1)
n , X
(2)
n ) est une chaîne de Markov à valeurs dans N
2 , de matrice de
transition
P (i1,i2),(j1,j2) = P(X
(1)
n+1 = j 1 , X
(2)
n+1 = j 2 |X
(1)
n = i 1 , X
(2)
n = i 2 )
=
k1+···+ki 1 =j1;r1+···+ri 2 =j2
i1
l=1
Q
i1,i2
1,k l
i2
m=1
Q
i1,i2
2,rm .
Exemple 3.1.4 Population isolée avec mutation. La situation est semblable à celle de
l’exemple 3.1.3, mais chaque descendant d’un individu de type 1 (resp. de type 2) peut
"muter" et donc devenir de type 2 (resp. de type 1) avec la probabilité α 1 (resp. α 2 ),
les mutations étant indépendantes de la reproduction. Ce modèle peut être utilisé en
épidémiologie pour représenter une population d’individus sains (de type 1) et infectés
(de type 2). La chaîne (X
(1)
n , X
(2)
n ) est encore markovienne, de matrice de transition donnée
par
P (i1,i2),(j1,j2) =
A(i1,i2,j1,j2)
i1
l=1
Q
i1,i2
1,k l
k l
k
l
α
k
l
1 (1 − α 1 )
k l −k
l
i2
m=1
Q
i1,i2
1,rm
r m
r
m
α
r
m
2 (1 − α 2 )
rm−r
m ,
où A(i 1 , i 2 , j 1 , j 2 ) est l’ensemble des familles d’entiers ((k l , k
l , r m , r
m ), l = 1, · · · , i 1 ; m =
1, · · · , i 2 ) telles que 0 ≤ k
l ≤ k l et 0 ≤ r
m ≤ r m , avec j 1 = (k 1 − k
1 ) + · · · + (k i1 −
k
i1 ) + r
1 + · · · + r
i2 et j 2 = k
1 + · · · + k
i1 + (r 1 − r
1 ) + · · · + (r i2 − r
i2 ) .
Les problèmes qui se posent naturellement pour ce type de modèles concernent le comportement de la chaîne (X n ) n quand n tend vers l’infini. Par exemple, y a-t-il extinction
de toute la population (X n → 0) ou d’une sous-population d’un type particulier, ou un
régime stationnaire apparaît-il (X n converge en un certain sens) ou a-t-on "explosion" de
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