3.1. CHAÎNES DE MARKOV DE VIE ET DE MORT
• Pour chaque n, i, la variable aléatoire Z n+1,i est de loi η
i .
Partant de X 0 , on définit donc les variables aléatoires X n par récurrence :
X n+1 =
i
k=1
Y n,i,k + Z n+1,i si X n = i, pour i ∈ N,
(3.1.1)
avec la convention qu’une somme "vide" vaut 0.
On note P i la probabilité P μ lorsque μ est la masse de Dirac en i c’est à dire quand la
population initiale comporte i individus ( X 0 = i).
La variable aléatoire X n+1 est fonction de X n et des variables (Y n,i,k , Z n+1,i , i, k ≥ 0).
Il est facile de montrer grâce aux propriétés d’indépendance que (X n ) n est une chaîne de
Markov. Ses probabilités de transition sont données pour tous i, j par
P i,j = P(X n+1 = j|X n = i) =
k1,k2,...,ki,r∈N,k1+···+ki+r=j
q
i
k1 q
i
k2 · · · q
i
ki η
i
r .
(3.1.2)
Définition 3.1.2 1) Lorsque les probabilités Q
i et η
i sont indépendantes de i, la dynamique de la population est dite densité-indépendante. Dans le cas contraire, elle est dite
densité-dépendante.
2) Il n’y a pas d’immigration lorsque η
i
0 = 1 pour tout i. La population est alors une
population isolée.
On étudiera tout d’abord des modèles de population densité-indépendante et sans immigration, quand la loi de reproduction ne dépend pas du nombre d’individus présents. Ce
modèle ne peut être réaliste que dans des situations de ressources infinies. En effet, dans
ce cas, les individus n’exercent pas de pression les uns sur les autres et chacun peut se
reproduire librement et indépendamment des autres. En revanche, si les ressources sont
limitées, les individus vont combattre pour survivre et le nombre d’individus dans la population aura un effet sur la loi de reproduction. Cette densité-dépendance introduit de la
non-linéarité dans les modèles mathématiques. Nous étudierons ce type de modèles dans
le Chapitre 5, dans le cadre du temps continu.
Le modèle de chaîne de Markov de vie et de mort peut également être compliqué de façon
à décrire la dynamique de plusieurs sous-populations en interaction ou avec mutation.
Donnons deux exemples de modèles multi-types avec interaction.
Exemple 3.1.3 Deux populations en interaction. Dans cet exemple, on considère une
population formée d’individus de deux types a = 1 ou a = 2. Il n’y a pas d’immigration.
La génération n comprend X
(1)
n individus de type 1, et X
(2)
n individus de type 2. La loi
de reproduction d’un individu de type 1, (resp. de type 2), dans une population de i 1
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• Pour chaque n, i, la variable aléatoire Z n+1,i est de loi η
i .
Partant de X 0 , on définit donc les variables aléatoires X n par récurrence :
X n+1 =
i
k=1
Y n,i,k + Z n+1,i si X n = i, pour i ∈ N,
(3.1.1)
avec la convention qu’une somme "vide" vaut 0.
On note P i la probabilité P μ lorsque μ est la masse de Dirac en i c’est à dire quand la
population initiale comporte i individus ( X 0 = i).
La variable aléatoire X n+1 est fonction de X n et des variables (Y n,i,k , Z n+1,i , i, k ≥ 0).
Il est facile de montrer grâce aux propriétés d’indépendance que (X n ) n est une chaîne de
Markov. Ses probabilités de transition sont données pour tous i, j par
P i,j = P(X n+1 = j|X n = i) =
k1,k2,...,ki,r∈N,k1+···+ki+r=j
q
i
k1 q
i
k2 · · · q
i
ki η
i
r .
(3.1.2)
Définition 3.1.2 1) Lorsque les probabilités Q
i et η
i sont indépendantes de i, la dynamique de la population est dite densité-indépendante. Dans le cas contraire, elle est dite
densité-dépendante.
2) Il n’y a pas d’immigration lorsque η
i
0 = 1 pour tout i. La population est alors une
population isolée.
On étudiera tout d’abord des modèles de population densité-indépendante et sans immigration, quand la loi de reproduction ne dépend pas du nombre d’individus présents. Ce
modèle ne peut être réaliste que dans des situations de ressources infinies. En effet, dans
ce cas, les individus n’exercent pas de pression les uns sur les autres et chacun peut se
reproduire librement et indépendamment des autres. En revanche, si les ressources sont
limitées, les individus vont combattre pour survivre et le nombre d’individus dans la population aura un effet sur la loi de reproduction. Cette densité-dépendance introduit de la
non-linéarité dans les modèles mathématiques. Nous étudierons ce type de modèles dans
le Chapitre 5, dans le cadre du temps continu.
Le modèle de chaîne de Markov de vie et de mort peut également être compliqué de façon
à décrire la dynamique de plusieurs sous-populations en interaction ou avec mutation.
Donnons deux exemples de modèles multi-types avec interaction.
Exemple 3.1.3 Deux populations en interaction. Dans cet exemple, on considère une
population formée d’individus de deux types a = 1 ou a = 2. Il n’y a pas d’immigration.
La génération n comprend X
(1)
n individus de type 1, et X
(2)
n individus de type 2. La loi
de reproduction d’un individu de type 1, (resp. de type 2), dans une population de i 1
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