CHAPITRE 3. DYNAMIQUE DE POPULATION EN TEMPS DISCRET
Allen [2], Athreya, Ney [5].
3.1 Chaînes de Markov de vie et de mort
Dans les modèles en temps discret, le temps est en général exprimé en nombre de générations ou il décrit un aspect périodique de la loi de reproduction (saisons, années, . . .).
Il peut aussi, dans certains cas, correspondre simplement à une discrétisation du temps
continu. La variable X n est l’effectif de la population à la génération n. Elle est donc à
valeurs dans N.
Nous étudierons le modèle général suivant. Si nous supposons qu’à un instant n, la population est de taille i ∈ N (X n = i), alors chaque individu vivant à la génération n
• meurt lorsque l’on passe de la génération n à la génération n + 1,
• donne naissance à un nombre aléatoire de descendants, indépendamment des autres
individus.
On suppose de plus que la loi de la variable "nombre de descendants" ne dépend pas
de n et de l’individu de la n-ième génération dont les descendants sont issus, mais peut
éventuellement dépendre de la taille i de la population, modélisant ainsi l’influence du
nombre d’individus vivants sur la reproduction. Cela peut être par exemple à travers
une baisse des ressources et donc moins d’énergie pour la reproduction, ou au contraire
à travers une stimulation favorisant la reproduction. Cette loi sera notée Q
i = (q
i
l , l ∈
N). Ainsi, q
i
l est la probabilité qu’un individu issu d’une population de taille i donne
naissance, à la génération suivante, à l individus.
• En outre, il y a possibilité d’immigration d’un nombre aléatoire d’individus, indépendamment du processus de naissance et mort, de loi η
i = (η
i
l , l ∈ N). Ainsi η
i
l désigne
la probabilité qu’un nombre l de migrants rejoigne une population de taille i à la génération suivante. Une fois les migrants arrivés, ils se reproduisent et meurent comme les
autres individus de la population.
Construction de la chaîne : Donnons-nous sur un espace (Ω, A), une famille de variables
aléatoires à valeurs entières
(X 0 , (Y n,i,k ) n,i,k≥0 , (Z n+1,i ) n,i≥0 ).
La variable aléatoire X 0 modélise le nombre d’individus au temps 0, Y n,i,k le nombre
d’enfants du k-ième individu de la n-ième génération, si le nombre total d’individus de
cette génération est i, et Z n+1,i modélise le nombre de migrants arrivant à la (n + 1)-ième
génération, sous la même hypothèse X n = i.
Définition 3.1.1 Pour chaque probabilité μ sur N, on note P μ l’unique probabilité sur
l’espace (Ω, A) sous laquelle ces variables sont indépendantes et telle que
• X 0 est de loi μ.
• Pour chaque n, i, k, la variable aléatoire Y n,i,k est de loi Q
i .
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Allen [2], Athreya, Ney [5].
3.1 Chaînes de Markov de vie et de mort
Dans les modèles en temps discret, le temps est en général exprimé en nombre de générations ou il décrit un aspect périodique de la loi de reproduction (saisons, années, . . .).
Il peut aussi, dans certains cas, correspondre simplement à une discrétisation du temps
continu. La variable X n est l’effectif de la population à la génération n. Elle est donc à
valeurs dans N.
Nous étudierons le modèle général suivant. Si nous supposons qu’à un instant n, la population est de taille i ∈ N (X n = i), alors chaque individu vivant à la génération n
• meurt lorsque l’on passe de la génération n à la génération n + 1,
• donne naissance à un nombre aléatoire de descendants, indépendamment des autres
individus.
On suppose de plus que la loi de la variable "nombre de descendants" ne dépend pas
de n et de l’individu de la n-ième génération dont les descendants sont issus, mais peut
éventuellement dépendre de la taille i de la population, modélisant ainsi l’influence du
nombre d’individus vivants sur la reproduction. Cela peut être par exemple à travers
une baisse des ressources et donc moins d’énergie pour la reproduction, ou au contraire
à travers une stimulation favorisant la reproduction. Cette loi sera notée Q
i = (q
i
l , l ∈
N). Ainsi, q
i
l est la probabilité qu’un individu issu d’une population de taille i donne
naissance, à la génération suivante, à l individus.
• En outre, il y a possibilité d’immigration d’un nombre aléatoire d’individus, indépendamment du processus de naissance et mort, de loi η
i = (η
i
l , l ∈ N). Ainsi η
i
l désigne
la probabilité qu’un nombre l de migrants rejoigne une population de taille i à la génération suivante. Une fois les migrants arrivés, ils se reproduisent et meurent comme les
autres individus de la population.
Construction de la chaîne : Donnons-nous sur un espace (Ω, A), une famille de variables
aléatoires à valeurs entières
(X 0 , (Y n,i,k ) n,i,k≥0 , (Z n+1,i ) n,i≥0 ).
La variable aléatoire X 0 modélise le nombre d’individus au temps 0, Y n,i,k le nombre
d’enfants du k-ième individu de la n-ième génération, si le nombre total d’individus de
cette génération est i, et Z n+1,i modélise le nombre de migrants arrivant à la (n + 1)-ième
génération, sous la même hypothèse X n = i.
Définition 3.1.1 Pour chaque probabilité μ sur N, on note P μ l’unique probabilité sur
l’espace (Ω, A) sous laquelle ces variables sont indépendantes et telle que
• X 0 est de loi μ.
• Pour chaque n, i, k, la variable aléatoire Y n,i,k est de loi Q
i .
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