2.6. EXERCICES
Qu’en déduire sur le comportement de (X n ) n quand p > 1/2 ?
3 - Soit T 0 le temps d’atteinte de 0 par la chaîne (X n ) n . Montrer que sur l’événement
aléatoire {T 0 ≥ n}, on a X n = Y n . En déduire que si p ≤ 1/2, l’état 1 est récurrent pour
(X n ) n . Qu’en déduire pour cette chaîne ?
4 - La chaîne (X n ) n possède-t-elle pour p ≤ 1/2 une probabilité invariante ? Commenter
les résultats obtenus.
Exercice 2.6.4 Modélisation de files d’attente.
Une file d’attente se forme à un guichet. A chaque instant n, il y a une probabilité p qu’un
client arrive et une probabilité 1 − p qu’aucun client n’arrive (0 < p < 1). Lorqu’au moins
un client est en attente, à chaque instant soit un client est servi sur une unité de temps et
quitte le système au temps n + 1 avec probabilité q, 0 < q < 1, soit personne ne quitte le
système avec probabilité 1 − q. Tous les événements ainsi décrits sont indépendants entre
eux. On note X n le nombre de clients présents dans la file d’attente au temps n.
1 - Montrer que la suite (X n ) n est une chaîne de Markov irréductible dont on donnera la
matrice de transition.
2 - Donner une condition nécessaire et suffisante sur p et q pour que la chaîne (X n ) n
possède une unique probabilité stationnaire, notée π. Calculer dans ce cas E π (X n ).
3 - On supposera que cette condition est satisfaite. Les clients étant servis dans l’ordre
d’arrivée, que vaut le temps d’attente moyen d’un client sachant que le système est initialisé avec sa probabilité stationnaire ?
4 - Supposons maintenant qu’entre les instants n et n + 1 peuvent arriver Y n+1 clients, les
variables aléatoires Y n étant indépendantes et équidistribuées et 0 < P(Y 1 = 0) < 1. On
note ϕ
(X n ) n .
En appelant ψ n la fonction génératrice de X n , donner une relation de récurrence entre
ψ n+1 , ϕ et ψ n . En déduire qu’il existe une unique probabilité stationnaire pour la chaîne
(X n ) n si et seulement si E(Y 1 ) < q. Commenter ce résultat.
Exercice 2.6.5 Une autre définition de l’apériodicité.
Il existe une autre définition de l’apériodicité que celle donnée par la définition 2.3.8.
Nous définissons la période d’un état i comme le plus grand diviseur commun de tous les
entiers n ≥ 1 tels que P
(n)
i,i > 0. On la note d(i). Si l’état a une période d(i) > 1, il est dit
périodique de période d(i). Si la période est égale à 1, l’état i est dit apériodique.
Si P
(n)
i,i = 0 pour tout n, on définit par extension d(i) = 0.
1 - Montrer que la périodicité est une propriété de classe, c’est-à-dire que si i ←→ j, alors
d(i) = d(j).
Pour cela on montrera que d(j) divise tout nombre k tel que P
(k)
i,i > 0.
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la fonction génératrice. Donner alors la matrice de transition de la chaîne
Qu’en déduire sur le comportement de (X n ) n quand p > 1/2 ?
3 - Soit T 0 le temps d’atteinte de 0 par la chaîne (X n ) n . Montrer que sur l’événement
aléatoire {T 0 ≥ n}, on a X n = Y n . En déduire que si p ≤ 1/2, l’état 1 est récurrent pour
(X n ) n . Qu’en déduire pour cette chaîne ?
4 - La chaîne (X n ) n possède-t-elle pour p ≤ 1/2 une probabilité invariante ? Commenter
les résultats obtenus.
Exercice 2.6.4 Modélisation de files d’attente.
Une file d’attente se forme à un guichet. A chaque instant n, il y a une probabilité p qu’un
client arrive et une probabilité 1 − p qu’aucun client n’arrive (0 < p < 1). Lorqu’au moins
un client est en attente, à chaque instant soit un client est servi sur une unité de temps et
quitte le système au temps n + 1 avec probabilité q, 0 < q < 1, soit personne ne quitte le
système avec probabilité 1 − q. Tous les événements ainsi décrits sont indépendants entre
eux. On note X n le nombre de clients présents dans la file d’attente au temps n.
1 - Montrer que la suite (X n ) n est une chaîne de Markov irréductible dont on donnera la
matrice de transition.
2 - Donner une condition nécessaire et suffisante sur p et q pour que la chaîne (X n ) n
possède une unique probabilité stationnaire, notée π. Calculer dans ce cas E π (X n ).
3 - On supposera que cette condition est satisfaite. Les clients étant servis dans l’ordre
d’arrivée, que vaut le temps d’attente moyen d’un client sachant que le système est initialisé avec sa probabilité stationnaire ?
4 - Supposons maintenant qu’entre les instants n et n + 1 peuvent arriver Y n+1 clients, les
variables aléatoires Y n étant indépendantes et équidistribuées et 0 < P(Y 1 = 0) < 1. On
note ϕ
(X n ) n .
En appelant ψ n la fonction génératrice de X n , donner une relation de récurrence entre
ψ n+1 , ϕ et ψ n . En déduire qu’il existe une unique probabilité stationnaire pour la chaîne
(X n ) n si et seulement si E(Y 1 ) < q. Commenter ce résultat.
Exercice 2.6.5 Une autre définition de l’apériodicité.
Il existe une autre définition de l’apériodicité que celle donnée par la définition 2.3.8.
Nous définissons la période d’un état i comme le plus grand diviseur commun de tous les
entiers n ≥ 1 tels que P
(n)
i,i > 0. On la note d(i). Si l’état a une période d(i) > 1, il est dit
périodique de période d(i). Si la période est égale à 1, l’état i est dit apériodique.
Si P
(n)
i,i = 0 pour tout n, on définit par extension d(i) = 0.
1 - Montrer que la périodicité est une propriété de classe, c’est-à-dire que si i ←→ j, alors
d(i) = d(j).
Pour cela on montrera que d(j) divise tout nombre k tel que P
(k)
i,i > 0.
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la fonction génératrice. Donner alors la matrice de transition de la chaîne