CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Quand un arbre est vieux, il est remplacé par un arbre jeune avec probabilité p > 0. Par
ailleurs, sachant que les temps de transition sont des périodes de 8 ans, la matrice de la
chaîne est donnée par
P =
⎛
⎝
1/4 3/4
0
0 1/2 1/2
p
0 1− p
⎞
⎠ .
(2.18)
Montrer que la chaîne est irréductible et apériodique. Calculer sa probabilité stationnaire.
En déduire les temps moyens de récurrence pour chaque état, à savoir le temps qu’il faudra
à un arbre d’un certain stade pour être remplacé par un arbre au même stade. Que valent
ces temps pour p = 7/10 ?
Exercice 2.6.2
1 - Soit une chaîne de Markov à valeurs entières, de matrice de transition (P i,j ). Nous
reprenons les notations du cours. Notons par F i,i (s) la fonction génératrice du temps de
premier retour T i en l’état i sachant que X 0 = i et par f
(n)
i,i la probabilité que ce temps
soit égal à n. Montrer que
P
(n)
i,i =
n
k=1
f
(k)
i,i P
(n−k)
i,i
.
En déduire que pour tout réel s avec |s| < 1,
P i,i (s) =
1
1 − F i,i (s)
.
2 - Montrer que l’état i est récurrent si et seulement si
∞
n=0 P
(n)
i,i = ∞.
3 - En déduire que si i ←→ j, alors i est récurrent si et seulement si j est récurrent.
Exercice 2.6.3 Une marche aléatoire réfléchie.
Considérons une suite de variables aléatoires indépendantes (Z n ) n à valeurs dans {−1, 1}
et telle que P(Y 1 = 1) = p, 0 < p < 1. Définissons la chaîne de Markov réfléchie en 0 par
X 0 ∈ N et par la formule de récurrence
X n+1 = X n + Z n+1 Xn>0 + Xn=0 .
1 - Donner la matrice de transition de la chaîne. En déduire qu’elle est irréductible.
2 - Considérons par ailleurs la marche aléatoire (Y n ) définie par Y n = X 0 +
n
k=1 Z k .
Montrer que presque-sûrement,
X n ≥ Y n , ∀n.
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