2.6. EXERCICES
E(M
2
n ) =
n
k=0 E(Δ
2
k ). Ainsi, l’hypothèse de bornitude dans L
2 est équivalente à la
convergence de la série de terme général E(Δ
2
k ). En particulier, pour tous entiers n et
m , on a
E((M n+m − M n )
2 ) =
n+m
k=n
E(Δ
2
k ),
et la suite (M n ) n est de Cauchy dans L
2 . Elle converge donc dans L
2 vers une variable
aléatoire M ∞ de carré intégrable. De plus, la propriété de martingale et l’inégalité de
Schwartz entraînent que pour tout A ∈ F n et pour tous m et n,
|E((M n − M ∞ ) A )| = |E((M n+m − M ∞ ) A )| ≤ E(|M n+m − M ∞ |
2 )
1/2
qui tend vers 0 quand m tend vers l’infini. Ainsi, M n = E(M ∞ | F n ). Montrons que la
convergence a également lieu presque-sûrement. En appliquant l’inégalité de BienayméChebychev, nous obtenons que pour ε > 0,
ε
2 P(sup
k≥n
|M k − M ∞ | > ε) ≤ E
sup
k≥n
|M k − M ∞ |
2
≤ 2
E
|M n − M ∞ |
2
+ E
sup
k≥n
|M k − M n |
2
.
Le théorème de convergence monotone entraîne que
E
sup
k≥n
|M k − M n |
2
= lim
N →∞
E
sup
n≤k≤N
|M k − M n |
2
.
Nous pouvons alors appliquer l’inégalité de Doob (2.17) à la martingale (M k − M n ) k≥n
pour en déduire que
E
sup
k≥n
|M k − M n |
2
≤ lim
N →∞
4 E
|M N − M n |
2
= 4 E
|M ∞ − M n |
2
.
Cela implique que pour tout ε > 0, P(sup k≥n |M k − M ∞ | > ε) tend vers 0 quand n
tend vers l’infini. Les ensembles {sup k≥n |M k − M ∞ | > ε} sont décroissants en n et leur
intersection vaut lim sup k {|M k − M ∞ | > ε}. Nous en déduisons que cet ensemble est de
probabilité nulle, ce qui entraîne que la suite (M n ) converge presque-sûrement vers M ∞ .
2.6 Exercices
Exercice 2.6.1 Un modèle de croissance d’arbres.
Introduisons un modèle de chaîne de Markov qui modélise le cycle de vie des arbres.
Supposons qu’il y ait 3 stades de croissance : arbre jeune, arbre à maturité et arbre vieux.
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