CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Considérons une martingale uniformément de carré intégrable :
sup
n
E(X
2
n ) < +∞.
Alors (M n ) n converge presque-sûrement lorsque n tend vers l’infini, vers une limite M ∞
intégrable vérifiant M n = E(M ∞ |F n ) pour tout n ∈ N.
La preuve du Théorème 2.5.4 repose sur des inégalités de martingales.
Proposition 2.5.5 Soit (M n ) n une (F n )-martingale.
(i) Définissons M
∗
n = sup 0≤k≤n |M k |. Soit a > 0, alors
a P(M
∗
n > a) ≤ E(|M n | M ∗
n >a ).
(2.16)
(ii) Supposons que sup n E(M
2
n ) < +∞. Nous en déduisons l’inégalité de Doob :
E((M
∗
n )
2 ) = E(sup
k≤n
|M k |
2 ) ≤ 4 E(M
2
n ).
(2.17)
Preuve. (i) Par l’inégalité de Jensen, nous remarquons tout d’abord que |M n | ≤ E(|M n+1 ||F n ).
Considérons le temps d’arrêt T = inf{k ≥ 0, |M k | > a} ∧ n borné par n. On a les inclusions {M
∗
n ≤ a} ⊂ {T = n} et {M
∗
n > a} ⊂ {|M T | > a}. Ainsi,
E(|M T |) = E(|M T | {M ∗
n ≤a} ) + E(|M T | {M ∗
n >a} ) ≥ E(|M n | {M ∗
n ≤a} ) + a P(M
∗
n > a).
Comme T est borné, un argument analogue à celui de la preuve du théorème d’arrêt (ii)
implique que E(|M n |) ≥ E(|M T |). Finalement
E(|M n |) ≥ E(|M n | {M ∗
n ≤a} ) + a P(M
∗
n > a),
et nous en déduisons le résultat.
(ii) Supposons que sup n E((M n )
2 ) < +∞. En intégrant (2.16) par rapport à a > 0, nous
obtenons que
+∞
0
a P(M
∗
n > a)da ≤
+∞
0
E(|M n | M ∗
n >a )da. Mais par le théorème de
Fubini,
+∞
0
a P(M
∗
n > a)da = E
M ∗
n
0
a da
=
1
2
E((M
∗
n )
2 ).
En utilisant l’inégalité de Schwartz et de nouveau le théorème de Fubini, nous en déduisons
que
1
2
E((M
∗
n )
2 ) ≤ E(M
2
n )
1/2
E((M
∗
n )
2 )
1/2 et (2.17) en découle.
Preuve du Théorème 2.5.4.
Introduisons les accroissements Δ n = M n − M n−1 . Il est facile de voir que, grâce à la
propriété de martingale, E(Δ m Δ n ) = 0 pour m = n. Nous pouvons en déduire que
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Théorème 2.5.4 (Théorème de convergence des martingales)