2.5. MARTINGALES À TEMPS DISCRET
Attention, dans de nombreuses situations, E(X T ) = E(X 0 ) : ce sont des cas où les hypothèses du théorème ne sont pas vérifiées. Par exemple considérons une marche aléatoire
simple sur N absorbée en 0 issue de X 0 = 1. Supposons que P(Z i = 1) = 1/2. Nous
avons vu que dans ce cas T 0 < ∞ presque-sûrement (voir Corollaire 2.2.5). Néanmoins,
X T0 = 0 et son espérance est nulle alors que E(X 0 ) = 1. La condition de domination n’est
donc pas respectée. En effet la marche aléatoire peut atteindre n’importe quel entier avec
probabilité positive. Par ailleurs, nous avons vu que E(T 0 ) = +∞ et T 0 ne peut pas être
borné.
Preuve. (i) Notons M n = X n∧T qui est F n -mesurable et intégrable dès que X n l’est.
On a M n = X n T >n−1 + X T T ≤n−1 . Comme
X T T ≤n−1 = X 1 T =1 + · · · + X n−1 T =n−1 ,
avec {T = k} ∈ F k ⊂ F n−1 pour k ≤ n − 1, la variable aléatoire X T T ≤n−1 est F n−1 -
mesurable. Nous en déduisons
E(M n | F n−1 ) = E
X n {T > n − 1}
∈F n−1
| F n−1
+ E
X T T ≤n−1 | F n−1
= T >n−1 E (X n | F n−1 )
= X n−1 car
(X n ) martingale
+X T T ≤n−1
= X n−1 T >n−1 + X T T ≤n−1 = X (n−1)∧T = M n−1 .
Donc (M n ) est une martingale.
(ii) Le processus (X n∧T ) est une martingale, donc au temps N
E(X T ) = E(X N ∧T ) = E(X 0∧T ) = E(X 0 ).
(iii) Le processus (X n∧T ) est une martingale, donc E(X n∧T ) = E(X 0 ). Faisons tendre n
vers l’infini dans l’égalité précédente. Comme T est fini presque-sûrement, X n∧T converge
p.s. vers X T quand n tend vers l’infini. De plus, l’hypothèse de domination nous permet
d’appliquer le théorème de convergence dominée et E(X n∧T ) → E(X T ). Nous en déduisons
que E(X T ) = E(X 0 ).
Une propriété fondamentale des martingales est leur comportement asymptotique quand
n tend vers l’infini, sous une hypothèse plus forte d’intégrabilité. Cela justifie souvent
la mise en évidence de martingales, dès lors que l’on souhaite montrer un résultat de
convergence en temps long.
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Attention, dans de nombreuses situations, E(X T ) = E(X 0 ) : ce sont des cas où les hypothèses du théorème ne sont pas vérifiées. Par exemple considérons une marche aléatoire
simple sur N absorbée en 0 issue de X 0 = 1. Supposons que P(Z i = 1) = 1/2. Nous
avons vu que dans ce cas T 0 < ∞ presque-sûrement (voir Corollaire 2.2.5). Néanmoins,
X T0 = 0 et son espérance est nulle alors que E(X 0 ) = 1. La condition de domination n’est
donc pas respectée. En effet la marche aléatoire peut atteindre n’importe quel entier avec
probabilité positive. Par ailleurs, nous avons vu que E(T 0 ) = +∞ et T 0 ne peut pas être
borné.
Preuve. (i) Notons M n = X n∧T qui est F n -mesurable et intégrable dès que X n l’est.
On a M n = X n T >n−1 + X T T ≤n−1 . Comme
X T T ≤n−1 = X 1 T =1 + · · · + X n−1 T =n−1 ,
avec {T = k} ∈ F k ⊂ F n−1 pour k ≤ n − 1, la variable aléatoire X T T ≤n−1 est F n−1 -
mesurable. Nous en déduisons
E(M n | F n−1 ) = E
X n {T > n − 1}
∈F n−1
| F n−1
+ E
X T T ≤n−1 | F n−1
= T >n−1 E (X n | F n−1 )
= X n−1 car
(X n ) martingale
+X T T ≤n−1
= X n−1 T >n−1 + X T T ≤n−1 = X (n−1)∧T = M n−1 .
Donc (M n ) est une martingale.
(ii) Le processus (X n∧T ) est une martingale, donc au temps N
E(X T ) = E(X N ∧T ) = E(X 0∧T ) = E(X 0 ).
(iii) Le processus (X n∧T ) est une martingale, donc E(X n∧T ) = E(X 0 ). Faisons tendre n
vers l’infini dans l’égalité précédente. Comme T est fini presque-sûrement, X n∧T converge
p.s. vers X T quand n tend vers l’infini. De plus, l’hypothèse de domination nous permet
d’appliquer le théorème de convergence dominée et E(X n∧T ) → E(X T ). Nous en déduisons
que E(X T ) = E(X 0 ).
Une propriété fondamentale des martingales est leur comportement asymptotique quand
n tend vers l’infini, sous une hypothèse plus forte d’intégrabilité. Cela justifie souvent
la mise en évidence de martingales, dès lors que l’on souhaite montrer un résultat de
convergence en temps long.
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