CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
• La tribu F T = {événements A tels que A ∩ {T = n} ∈ F n } est la tribu des événements
antérieurs à T . Elle représente l’information disponible au temps T .
Définition 2.5.1 Une suite (X 0 , X 1 , . . .) de variables aléatoires est une martingale pour
la filtration (F n ) n si pour tout n, X n est F n -mesurable et intégrable et si
E(X n+1 |F n ) = X n .
Remarquons que la moyenne d’une martingale est constante au cours du temps :
E(X n ) = E(X 0 ) , pour tout n ∈ N .
(2.15)
La preuve en est immédiate. En effet, E(X n+1 ) = E(E(X n+1 | F n )) = E(X n ).
Un processus (X n ) n tel que X n est F n -mesurable pour tout n est appelé un processus
adapté à la filtration (F n ) n .
Définition 2.5.2 Nous dirons qu’un processus (F n ) n -adapté (X n ) n est une sur-martingale
pour la filtration (F n ) si les variables X n sont intégrables et satisfont E(X n+1 |F n ) ≤ X n .
Respectivement on dira que le processus est une sous-martingale si E(X n+1 |F n ) ≥ X n .
De tels exemples peuvent être obtenus en considérant des fonctions concaves ou convexes
de martingales, comme il est facile de le prouver en utilisant l’inégalité de Jensen pour
les espérances conditionnelles. Par exemple, si (M n ) n est une martingale, le processus
(exp(−M n )) n sera une sous-martingale.
Nous allons tout d’abord montrer que l’égalité (2.15) reste vraie en un temps d’arrêt T ,
sous certaines hypothèses, soit de bornitude de T , soit de domination de la martingale.
Cette propriété nous permettra d’avoir un outil de calcul performant, comme nous le
verrons dans la suite.
Notation On note n ∧ T := min(n, T ) et X n∧T la variable aléatoire
X n∧T : Ω → R
ω → X n∧T (ω) (ω).
Théorème 2.5.3 (Théorème d’arrêt) Considérons une martingale (X n ) n pour la filtration (F n ) n et soit T un temps d’arrêt par rapport à cette même filtration.
(i) Le processus arrêté (X n∧T ) n∈N est une martingale.
(ii) S’il existe N ∈ N tel que P(T ≤ N ) = 1, alors E(X T ) = E(X 0 ) .
(iii) Si P(T < +∞) = 1 et s’il existe Y telle que E(Y ) < +∞ et |X n∧T | ≤ Y pour tout
n ∈ N (condition de domination)
alors
E(X T ) = E(X 0 ) .
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• La tribu F T = {événements A tels que A ∩ {T = n} ∈ F n } est la tribu des événements
antérieurs à T . Elle représente l’information disponible au temps T .
Définition 2.5.1 Une suite (X 0 , X 1 , . . .) de variables aléatoires est une martingale pour
la filtration (F n ) n si pour tout n, X n est F n -mesurable et intégrable et si
E(X n+1 |F n ) = X n .
Remarquons que la moyenne d’une martingale est constante au cours du temps :
E(X n ) = E(X 0 ) , pour tout n ∈ N .
(2.15)
La preuve en est immédiate. En effet, E(X n+1 ) = E(E(X n+1 | F n )) = E(X n ).
Un processus (X n ) n tel que X n est F n -mesurable pour tout n est appelé un processus
adapté à la filtration (F n ) n .
Définition 2.5.2 Nous dirons qu’un processus (F n ) n -adapté (X n ) n est une sur-martingale
pour la filtration (F n ) si les variables X n sont intégrables et satisfont E(X n+1 |F n ) ≤ X n .
Respectivement on dira que le processus est une sous-martingale si E(X n+1 |F n ) ≥ X n .
De tels exemples peuvent être obtenus en considérant des fonctions concaves ou convexes
de martingales, comme il est facile de le prouver en utilisant l’inégalité de Jensen pour
les espérances conditionnelles. Par exemple, si (M n ) n est une martingale, le processus
(exp(−M n )) n sera une sous-martingale.
Nous allons tout d’abord montrer que l’égalité (2.15) reste vraie en un temps d’arrêt T ,
sous certaines hypothèses, soit de bornitude de T , soit de domination de la martingale.
Cette propriété nous permettra d’avoir un outil de calcul performant, comme nous le
verrons dans la suite.
Notation On note n ∧ T := min(n, T ) et X n∧T la variable aléatoire
X n∧T : Ω → R
ω → X n∧T (ω) (ω).
Théorème 2.5.3 (Théorème d’arrêt) Considérons une martingale (X n ) n pour la filtration (F n ) n et soit T un temps d’arrêt par rapport à cette même filtration.
(i) Le processus arrêté (X n∧T ) n∈N est une martingale.
(ii) S’il existe N ∈ N tel que P(T ≤ N ) = 1, alors E(X T ) = E(X 0 ) .
(iii) Si P(T < +∞) = 1 et s’il existe Y telle que E(Y ) < +∞ et |X n∧T | ≤ Y pour tout
n ∈ N (condition de domination)
alors
E(X T ) = E(X 0 ) .
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