2.5. MARTINGALES À TEMPS DISCRET
en temps long. Cette marche aléatoire ne prend qu’un nombre fini de valeurs et il est
facile de montrer qu’elle est irréductible et apériodique. Par les Théorèmes 2.3.5 et 2.3.9,
nous savons qu’il existe une unique probabilité stationnaire π = (π i ) i∈{0,...,a} , telle que la
loi de X n converge vers π quand n tend vers l’infini (pour toute condition initiale). La
probabilité π satisfait l’équation suivante
π i = p π i−1 + (1 − p) π i+1 , pour 1 ≤ i ≤ a − 1
avec les conditions aux bords
π 0 = (1 − p) π 0 + (1 − p) π 1 ; π a = p π a−1 + p π a .
Cette équation se résout facilement et nous obtenons que
π i =
p
1 − p
i 1 −
p
1−p
1 −
p
1−p
a+1 , ∀i = 0, · · · , a.
Si p =
1
2
, alors π i =
1
a+1
et la distribution invariante est uniforme sur {0, · · · , a}, ce qui
est un résultat très intuitif. Si en revanche, 1 − p > p ⇔ p < 1/2, (respectivement 1 − p <
p ⇔ p > 1/2), alors π i décroît géométriquement depuis la barrière 0, (respectivement
depuis la barrière a).
2.5 Martingales à temps discret
Considérons une marche aléatoire (X n ) n définie par X n = X 0 +
n
i=1 Z i , où X 0 est
intégrable et les Z i sont indépendantes, équidistribuées et centrées. Ainsi l’espérance de
X n reste constante égale à E(X 0 ). Nous avons en fait une information plus précise. En
effet, si F n = σ(X 0 , · · · , X n ) désigne comme précédemment la tribu du processus jusqu’au
temps n, alors
E(X n+1 | F n ) = X n .
L’espérance d’un accroissement futur, conditionnellement au passé du processus, est nulle.
Les fluctuations aléatoires créées par ces accroissements ne seront pas visibles au niveau
macroscopique. Dans ce paragraphe, nous allons formaliser cette propriété. Plus de détails
pourront être trouvés dans Neveu [61] ou dans Jacod-Protter [42].
Considérons un espace de probabilité muni d’une filtration, à savoir une suite F 0 ⊂ F 1 ⊂
· · · de tribus emboitées. Typiquement F n = σ(X 0 , . . . , X n ) où (X 0 , X 1 , . . .) est une suite
de variables aléatoires.
• La variable aléatoire T à valeurs dans N ∪ {+∞} est un F n -temps d’arrêt.
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en temps long. Cette marche aléatoire ne prend qu’un nombre fini de valeurs et il est
facile de montrer qu’elle est irréductible et apériodique. Par les Théorèmes 2.3.5 et 2.3.9,
nous savons qu’il existe une unique probabilité stationnaire π = (π i ) i∈{0,...,a} , telle que la
loi de X n converge vers π quand n tend vers l’infini (pour toute condition initiale). La
probabilité π satisfait l’équation suivante
π i = p π i−1 + (1 − p) π i+1 , pour 1 ≤ i ≤ a − 1
avec les conditions aux bords
π 0 = (1 − p) π 0 + (1 − p) π 1 ; π a = p π a−1 + p π a .
Cette équation se résout facilement et nous obtenons que
π i =
p
1 − p
i 1 −
p
1−p
1 −
p
1−p
a+1 , ∀i = 0, · · · , a.
Si p =
1
2
, alors π i =
1
a+1
et la distribution invariante est uniforme sur {0, · · · , a}, ce qui
est un résultat très intuitif. Si en revanche, 1 − p > p ⇔ p < 1/2, (respectivement 1 − p <
p ⇔ p > 1/2), alors π i décroît géométriquement depuis la barrière 0, (respectivement
depuis la barrière a).
2.5 Martingales à temps discret
Considérons une marche aléatoire (X n ) n définie par X n = X 0 +
n
i=1 Z i , où X 0 est
intégrable et les Z i sont indépendantes, équidistribuées et centrées. Ainsi l’espérance de
X n reste constante égale à E(X 0 ). Nous avons en fait une information plus précise. En
effet, si F n = σ(X 0 , · · · , X n ) désigne comme précédemment la tribu du processus jusqu’au
temps n, alors
E(X n+1 | F n ) = X n .
L’espérance d’un accroissement futur, conditionnellement au passé du processus, est nulle.
Les fluctuations aléatoires créées par ces accroissements ne seront pas visibles au niveau
macroscopique. Dans ce paragraphe, nous allons formaliser cette propriété. Plus de détails
pourront être trouvés dans Neveu [61] ou dans Jacod-Protter [42].
Considérons un espace de probabilité muni d’une filtration, à savoir une suite F 0 ⊂ F 1 ⊂
· · · de tribus emboitées. Typiquement F n = σ(X 0 , . . . , X n ) où (X 0 , X 1 , . . .) est une suite
de variables aléatoires.
• La variable aléatoire T à valeurs dans N ∪ {+∞} est un F n -temps d’arrêt.
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