CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Marche aléatoire absorbée en 0.
Considérons une marche aléatoire absorbée uniquement en 0. Pour savoir si elle atteindra
0 en temps fini, nous allons faire tendre a vers l’infini dans (2.11) et (2.12). Les événements {T 0 < T a } convergent en croissant vers {T 0 < +∞}. Si p > 1/2, la probabilité
d’arriver à 0 en partant de k vaut
1−p
p
k
. En revanche, si p ≤ 1/2, cette probabilité vaut
1 pour tout k.
Lien avec la probabilité d’extinction d’une population.
Comme nous l’avons vu dans l’introduction, ce modèle est adapté pour décrire la dynamique d’une population. Imaginons que X n soit la taille d’une population au temps n. A
chaque unité de temps, celle-ci croît de un individu (naissance) avec probabilité p et décroît de un individu (mort) avec probabilité q = 1 − p. L’atteinte de 0 signifie l’extinction
de la population. S’il n’y a pas d’immigration, la population une fois éteinte ne peut plus
renaître et le processus X est donc une marche aléatoire à valeurs dans N absorbée en
0. Le temps d’atteinte de 0 est alors le temps d’extinction. Nous avons vu ci-dessus que
si q < p, la probabilité d’extinction d’une population avec k individus au temps 0 vaut
q
p
k
. En revanche, si q ≥ p, cette probabilité vaut 1 pour tout k. L’interprétation de ce
résultat pour une dynamique de population est claire : si la probabilité de naissance p
est strictement supérieure à la probabilité de mort q, il y a une probabilité strictement
positive de ne pas s’éteindre, qui dépend de la taille initiale de la population, mais dans
le cas contraire, la probabilité d’extinction est 1. Remarquons qu’en faisant tendre a vers
+∞ dans (2.14), nous obtenons que dans les cas d’extinction presque-sûre,
E k (T 0 ) =
k
q − p
si p < q ,
= +∞
si p = q .
Dans le cas où p > q et sur l’événement où il n’y a pas extinction, la loi des grands
nombres nous montre que la taille de la population tend vers l’infini.
2.4.2 Barrières réfléchissantes
Supposons maintenant que les points 0 et a ne soient pas complètement absorbants et
qu’avec une probabilité strictement positive, la marche aléatoire puisse repartir instantanément dans l’autre sens. Si cette probabilité est 1, nous dirons que la marche aléatoire
est réfléchie en ce point. Dans le cas général nous supposerons que si la marche aléatoire
est en 0, elle a une probabilité 1 − p d’y rester et une probabilité p d’aller en 1 et que
de même, si elle atteint a, elle a une probabilité p d’y rester et 1 − p d’aller en a − 1.
Dans ce cas, nous pouvons imaginer que la marche aléatoire se déplace indéfiniment entre
les barrières avec probabilité positive. Nous souhaitons savoir comment elle se stabilise
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Marche aléatoire absorbée en 0.
Considérons une marche aléatoire absorbée uniquement en 0. Pour savoir si elle atteindra
0 en temps fini, nous allons faire tendre a vers l’infini dans (2.11) et (2.12). Les événements {T 0 < T a } convergent en croissant vers {T 0 < +∞}. Si p > 1/2, la probabilité
d’arriver à 0 en partant de k vaut
1−p
p
k
. En revanche, si p ≤ 1/2, cette probabilité vaut
1 pour tout k.
Lien avec la probabilité d’extinction d’une population.
Comme nous l’avons vu dans l’introduction, ce modèle est adapté pour décrire la dynamique d’une population. Imaginons que X n soit la taille d’une population au temps n. A
chaque unité de temps, celle-ci croît de un individu (naissance) avec probabilité p et décroît de un individu (mort) avec probabilité q = 1 − p. L’atteinte de 0 signifie l’extinction
de la population. S’il n’y a pas d’immigration, la population une fois éteinte ne peut plus
renaître et le processus X est donc une marche aléatoire à valeurs dans N absorbée en
0. Le temps d’atteinte de 0 est alors le temps d’extinction. Nous avons vu ci-dessus que
si q < p, la probabilité d’extinction d’une population avec k individus au temps 0 vaut
q
p
k
. En revanche, si q ≥ p, cette probabilité vaut 1 pour tout k. L’interprétation de ce
résultat pour une dynamique de population est claire : si la probabilité de naissance p
est strictement supérieure à la probabilité de mort q, il y a une probabilité strictement
positive de ne pas s’éteindre, qui dépend de la taille initiale de la population, mais dans
le cas contraire, la probabilité d’extinction est 1. Remarquons qu’en faisant tendre a vers
+∞ dans (2.14), nous obtenons que dans les cas d’extinction presque-sûre,
E k (T 0 ) =
k
q − p
si p < q ,
= +∞
si p = q .
Dans le cas où p > q et sur l’événement où il n’y a pas extinction, la loi des grands
nombres nous montre que la taille de la population tend vers l’infini.
2.4.2 Barrières réfléchissantes
Supposons maintenant que les points 0 et a ne soient pas complètement absorbants et
qu’avec une probabilité strictement positive, la marche aléatoire puisse repartir instantanément dans l’autre sens. Si cette probabilité est 1, nous dirons que la marche aléatoire
est réfléchie en ce point. Dans le cas général nous supposerons que si la marche aléatoire
est en 0, elle a une probabilité 1 − p d’y rester et une probabilité p d’aller en 1 et que
de même, si elle atteint a, elle a une probabilité p d’y rester et 1 − p d’aller en a − 1.
Dans ce cas, nous pouvons imaginer que la marche aléatoire se déplace indéfiniment entre
les barrières avec probabilité positive. Nous souhaitons savoir comment elle se stabilise
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