2.2. ETUDE DES TEMPS DE PASSAGE
ce qui démontre (i).
Remarquons que
Xn+n
2
suit la loi binomiale B(n, p). En effet,
Xn+n
2
=
n
i=1
(Zi+1)
2
et les
variables aléatoires
Zi+1
2
sont indépendantes et de loi de Bernoulli de paramètre p. Ainsi,
P(X n = 0) =
n
n/2
(pq)
n/2 lorsque n est pair et P(X n = 0) = 0 si n est impair. Nous
avons alors
Q(s) =
n≥0
2n
n
(pq)
n s
2n =
n≥0
2
n (2n − 1)(2n − 3) · · · 1
n!
(pq s
2 )
n
=
n≥0
(2n − 1)(2n − 3) · · · 1
2 n n!
(4pq s
2 )
n .
Nous pouvons identifier le dernier terme en le comparant au développement en série entière
(1 + u)
−
1
2 = 1 −
1
2
u +
(−
1
2
)(−
1
2
− 1)
2!
u
2 + . . . + +
(−
1
2
)(−
1
2
− 1) · · · (−
1
2
− n + 1)
n!
u
n + · · ·
(pour |u| < 1). Nous en déduisons (ii), puis la valeur de F (s).
Corollaire 2.2.5 La probabilité que la particule retourne au moins une fois à l’origine
vaut
P(T 0 < +∞) = F (1) = 1 − |2p − 1| =
⎧
⎨
⎩
2(1 − p) si p > 1/2
2p
si p < 1/2
1
si p = 1/2
.
Si p =
1
2
, T 0 < +∞ p.s.. De plus, le temps moyen de premier retour E(T 0 ) est infini.
Preuve. On a
P (T 0 < +∞) = lim
1
F (s) = 1 − (1 − 4pq)
1/2
= 1 − |2p − 1|
d’après la Proposition 2.2.4. De plus, lorsque p = 1/2, F (s) = 1 − (1 − s
2 )
1/2 et
E(T 0 ) = lim
s1
F
(s) = +∞.
19
s