CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Remarque 2.2.6 D’après le Corollaire 2.2.5, la marche aléatoire simple revient presquesûrement à son point de départ, si et seulement si p =
1
2
. Ceci est conforme à la loi des
grands nombres, qui entraîne ici que P( lim
n→∞
n
i=1 Z i
n
= 2p − 1) = 1.
Notons que lorsque p = 1/2, T 0 est fini presque-sûrement, mais le retour à 0 s’effectue
lentement puisque le temps moyen de retour en 0 est infini. Par la propriété de Markov
forte, nous en déduisons que la marche aléatoire reviendra presque-sûrement une infinité
de fois en 0. Cette propriété, vraie pour le point 0, peut s’appliquer à tout point de la
marche aléatoire en changeant l’origine. Nous disons dans ce cas que la marche aléatoire
est récurrente. Dans le cas contraire (ici sous l’hypothèse p =
1
2
,
) nous dirons que la
marche aléatoire est transiente. Une définition générale de ces notions sera donnée dans
le paragraphe suivant.
Le modèle de marche aléatoire simple se généralise en supposant que les variables aléatoires
Z n sont indépendantes et de même loi de carré intégrable, et l’on note
E(Z n ) = m ; V ar(Z n ) = σ
2 .
(2.6)
Le comportement asymptotique du processus (X n ) n se déduit de la loi des grands nombres :
la suite
Xn
n
converge presque-sûrement vers m quand n tend vers l’infini. Nous en déduisons que si m = 0, la marche aléatoire ne pourra plus repasser par 0 à partir d’un certain
rang. Ce raisonnement peut également s’appliquer dans le cas d’une dimension supérieure
à 1. Le cas où m = 0 est plus délicat comme on peut déjà l’observer dans le cas des
marches aléatoires symétriques. Nous avons étudié le cas de la dimension 1 dans le Corollaire 2.2.5, mais l’on montre en fait que les propriétés de transience et de récurrence de la
marche aléatoire symétrique sont liées à la dimension de l’espace. Nous ne démontrerons
pas le théorème suivant.
Théorème 2.2.7 (Théorème de Pólya, voir par exemple [36].) La marche aléatoire simple
symétrique est récurrente si la dimension d est égale à 1 ou 2. Si d ≥ 3, la marche aléatoire
est transiente.
Nous allons maintenant donner une définition précise de ces propriétés pour une chaîne
de Markov et en déduire certains comportements en temps long.
2.3 Récurrence et transience - Théorèmes ergodiques
Nous présentons ici les principaux résultats concernant le comportement d’une chaîne
de Markov quand le temps n tend vers l’infini. Ces résultats font partie d’une théorie
probabiliste importante qui n’est pas le but de ce livre. Nous renvoyons par exemple aux
livres de Pardoux [62] et Graham [36] pour plus de détails.
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Remarque 2.2.6 D’après le Corollaire 2.2.5, la marche aléatoire simple revient presquesûrement à son point de départ, si et seulement si p =
1
2
. Ceci est conforme à la loi des
grands nombres, qui entraîne ici que P( lim
n→∞
n
i=1 Z i
n
= 2p − 1) = 1.
Notons que lorsque p = 1/2, T 0 est fini presque-sûrement, mais le retour à 0 s’effectue
lentement puisque le temps moyen de retour en 0 est infini. Par la propriété de Markov
forte, nous en déduisons que la marche aléatoire reviendra presque-sûrement une infinité
de fois en 0. Cette propriété, vraie pour le point 0, peut s’appliquer à tout point de la
marche aléatoire en changeant l’origine. Nous disons dans ce cas que la marche aléatoire
est récurrente. Dans le cas contraire (ici sous l’hypothèse p =
1
2
,
) nous dirons que la
marche aléatoire est transiente. Une définition générale de ces notions sera donnée dans
le paragraphe suivant.
Le modèle de marche aléatoire simple se généralise en supposant que les variables aléatoires
Z n sont indépendantes et de même loi de carré intégrable, et l’on note
E(Z n ) = m ; V ar(Z n ) = σ
2 .
(2.6)
Le comportement asymptotique du processus (X n ) n se déduit de la loi des grands nombres :
la suite
Xn
n
converge presque-sûrement vers m quand n tend vers l’infini. Nous en déduisons que si m = 0, la marche aléatoire ne pourra plus repasser par 0 à partir d’un certain
rang. Ce raisonnement peut également s’appliquer dans le cas d’une dimension supérieure
à 1. Le cas où m = 0 est plus délicat comme on peut déjà l’observer dans le cas des
marches aléatoires symétriques. Nous avons étudié le cas de la dimension 1 dans le Corollaire 2.2.5, mais l’on montre en fait que les propriétés de transience et de récurrence de la
marche aléatoire symétrique sont liées à la dimension de l’espace. Nous ne démontrerons
pas le théorème suivant.
Théorème 2.2.7 (Théorème de Pólya, voir par exemple [36].) La marche aléatoire simple
symétrique est récurrente si la dimension d est égale à 1 ou 2. Si d ≥ 3, la marche aléatoire
est transiente.
Nous allons maintenant donner une définition précise de ces propriétés pour une chaîne
de Markov et en déduire certains comportements en temps long.
2.3 Récurrence et transience - Théorèmes ergodiques
Nous présentons ici les principaux résultats concernant le comportement d’une chaîne
de Markov quand le temps n tend vers l’infini. Ces résultats font partie d’une théorie
probabiliste importante qui n’est pas le but de ce livre. Nous renvoyons par exemple aux
livres de Pardoux [62] et Graham [36] pour plus de détails.
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