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CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Nous souhaitons connaître la loi de T 0 . Nous allons calculer sa fonction génératrice. Pour
cela, introduisons, pour n ≥ 1
f (n) = P(T 0 = n) = P(X 1 = 0, . . . , X n−1 = 0, X n = 0).
Attention, il se peut que P(T 0 = +∞) > 0 (si le processus ne revient jamais en 0), auquel
cas la fonction génératrice F de T 0 , définie pour s ∈ [0, 1] par
F (s) = E( s
T0 ) =
∞
n=1
f (n) s
n ,
vérifie F (1) = 1 − P(T 0 = +∞) = P(T 0 < +∞).
Proposition 2.2.4 Si (X n ) n est une marche aléatoire simple issue de 0, la fonction génératrice du premier temps de retour en 0 vaut pour tout s ∈ [0, 1],
F (s) = 1 − (1 − 4pqs
2 )
1/2 .
Preuve. Nous introduisons la fonction auxiliaire Q définie pour s ∈ [0, 1] par
Q(s) =
∞
n=0
P(X n = 0) s
n ,
que l’on calcule plus aisément. Montrons que
(i) Q(s) = 1 + Q(s) F (s).
(ii) Q(s) = (1 − 4pqs
2 )
−1/2 .
D’après la formule de Bayes,
P(X n = 0) =
n
k=1
P(X n = 0 | T 0 = k) P(T 0 = k) .
Les variables aléatoires Z i sont indépendantes et de même loi et
P(X n = 0 | T 0 = k) = P(X n − X k = 0 | T 0 = k) = P(X n−k = 0).
Nous en déduisons que a n = P(X n = 0) est solution de
a n =
n
k=1
a n−k f (k) ,
et a 0 = 1. En multipliant par s
n et en sommant en n, puis en utilisant le théorème de
Fubini, nous obtenons
Q(s) =
n≥0
a n s
n = 1 +
n≥1
n
k=1
a n−k s
n−k f (k)s
k
= 1 +
∞
k=1
f (k)s
k
+∞
n=k
a n−k s
n−k = 1 + F (s) Q(s),
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